Материјал за множење тачака коришћењем компоненти јединичног вектора
Можемо директно израчунати скаларни производ ако знамо x, y и z компоненте вектора A и B (познати вектори).
Да бисмо израчунали скаларни производ на овај начин, прво израчунавамо скаларни производ јединичних вектора, затим изражавамо векторе А и Б у њиховим компонентама, разлажемо производ и користимо производ јединичних вектора.
Јединични вектори i , j и k су нормални један на други, што олакшава прорачуне. Користећи горе изведену једначину скаларног множења ( AB = AB cos theta ), добијамо:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Сада изражавамо векторе А и Б преко њихових компоненти, разлажемо њихов производ и користимо производ јединичних вектора.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Карена i . i = j . j = k . k = 1 и i . j = i . k = j . k = 0, онда:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
А. Б = А x Б x ( 1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + А z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
На основу резултата овог прорачуна, може се закључити да је скаларни производ или скаларни производ два вектора збир производа њихових сличних компоненти.
Пример питања 1:
Велики вектор A dan B респективно су 5 и 4, као што је приказано на слици испод. Угао који формирају је 90oПреброј то скаларни производ оба вектора.
Пембахасан
Пре него што израчунамо скаларни производ вектора А и Б, прво морамо знати компоненте другог вектора.
А к = (5) цос 0 о = (5) (1) = 5
А и = (5) син 0 о = (5) (0) = 0
А z = 0
Б к = (4) цос 90 о = (4) (0) = 0
Б и = (4) син 90 о = (4) (1) = 4
Bz = 0
Вектор А има само векторске компоненте на x-оси, а вектор B има само векторске компоненте на y-оси. Z компонента је нула јер су вектори A и B у xy равни.
Сада израчунавамо скаларни производ између вектора А и Б користећи једначину скаларног производа са компонентним векторима:
А. Б = Аx Bx + AyBy + AzBz
А. Б = (5) (0) + (0) (4) + 0
А. Б = 0 + 0 + 0
А. Б = 0
Упоредимо то са првом методом
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
АБ = (4) (5) (0)
АБ = 0
Резултат је исти.
Пример питања 2:
Велики вектор A dan B су 5 и 4 респективно, као што је приказано на слици испод. Израчунајте скаларни производ оба вектора, ако је угао који формирају 30o
Пембахасан
Пре него што израчунамо скаларни производ вектора А и Б, прво морамо знати компоненте другог вектора.
Z компонента је нула јер су вектори A и B у xy равни.
Сада израчунавамо скаларни производ између вектора А и Б користећи једначину скаларног производа са компонентним векторима:
Упоредите са првом методом.
