Fa'atomuaga i le Full Waveform Inversion (FWI) Algorithm
1. Pendahuluan
I le geophysics faʻaonaponei, o le manaʻoga e "vaʻai" i le fausaga o le eleele i lalo o le Lalolagi o loʻo faʻatupulaʻia. O le alamanuia o le malosiaga, faʻaitiitia o faʻalavelave faʻafuaseʻi, suʻesuʻega o le geothermal, ma e oʻo lava i suʻesuʻega tectonic e manaʻomia ai ni faʻataʻitaʻiga auiliili o le eleele i lalo o le eleele: pe faʻapefea ona suia le saoasaoa o galu seismic i le loloto, o fea o iai tuaoi o papa, ma pe faʻapefea ona aʻafia e eseesega laiti le sosolo o galu. O se tasi o auala sili ona mamana mo lenei faʻamoemoe o le Full Waveform Inversion (FWI), o se algorithm inversion e faʻaaogaina ai faʻamatalaga atoatoa mai galu seismic e faʻatatau ai faʻamaumauga faaletino o le eleele i lalo o le eleele.
E masani ona ta'ua le FWI o le "tulaga auro" o le fa'aliliuga o le mafui'e ona e mafai ona gaosia ni ata maualuga le iugafono o le eleele i lalo o le fogaeleele, e sili atu nai lo auala masani e na'o le taimi e malaga ai pe faigofie le malosi o le eletise e fa'aogaina. Peita'i, o lenei malosiaga e iai sona tau: E mana'omia e le FWI le fa'ata'ita'iga sa'o o galu, puna'oa fa'akomepiuta tetele, ma ta'iala fa'aleleia ma le fa'aeteete ina ia 'alofia ai le pa'u'ū i ni fofo sese.
O lenei tusiga o loʻo faʻalauiloa atu ai manatu autū o le FWI, vaega autū o lana algorithm, faʻapea foʻi ma luʻitau lautele ma taʻiala i lona faʻatinoina.
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2. O le ā le Full Waveform Inversion?
I se faaupuga faigofie, o le FWI o le faagasologa lea o le sailia o se faʻataʻitaʻiga i lalo o le fogaeleele e sili ona fetaui ma faʻamaumauga faʻataʻitaʻi o le mafuiʻe ma faʻamaumauga o le mafuiʻe na matauina. O le "fesootaʻiga sili ona lelei" e faʻamatalaina e se galuega faʻatino (misfit), e pei o le eseesega faʻatafafa i le va o faʻamaumauga matauina ma faʻamaumauga faʻapitoa i taimi taʻitasi ma i tagata e maua ai taʻitasi.
O eseesega autū i le va o le FWI ma isi metotia fa'aliliuina o:
– E faʻaaogā e le FWI le foliga atoa o le galu (phase, amplitude, interference, multiple, diffraction), ae le naʻo le filifilia o le taimi e taunuu ai.
– E faʻalagolago le FWI i le foʻia o le fua faʻatatau o galu (acoustic, elastic, poʻo le anelastic) e faʻataʻitaʻi ai faʻamatalaga faʻapitoa.
– O le FWI o se faʻafitauli tele o le faʻaleleia atili o le nonlinear, aua o faʻataʻitaʻiga (e.g., saoasaoa o le P- poʻo le S-wave) e mafai ona faʻanumeraina le miliona o sela i luga o se 2D/3D grid.
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3. Vaega Autū i le FWI
3.1 Fa'amaumauga Mata'ituina ma Fa'amaumauga Fa'apitoa
E manaʻomia e le FWI:
– Faʻamaumauga o mea na matauina: faʻamaumauga o mafuiʻe i le fanua (aoina o fana) mai punaoa eseese ma mea e maua ai fana.
– Faʻamaumauga faʻapitoa: taunuuga o le faʻataʻitaʻiga faʻafuainumera o le faʻasalalauina o galu i luga o se faʻataʻitaʻiga le tumau.
E fuafuaina faʻamaumauga faʻapitoa e ala i le foia o le fua faʻatatau o galu (e.g. le fua faʻatatau o galu leo):
\[
\frac{1}{v^2(\mathbf{x})}\frac{\partial^2 p}{\vaega t^2} – \nabla^2 p = s(\mathbf{x},t)
\]
lea o le \( v(\mathbf{x}) \) o le saoasaoa o galu, \( p \) o le mamafa o le scalar/galu, ma le \( s \) o le puna.
3.2 Fa'ata'ita'iga Muamua
E matuā maaleale lava le FWI i le faʻataʻitaʻiga muamua. Afai e matuā mamao tele le faʻataʻitaʻiga muamua mai tulaga moni, e mafai e le algorithm ona oʻo i le cycle skipping, o le taimi lea e sili atu ai le eseesega o le vaega i le va o faʻamatalaga faʻapitoa ma faʻamatalaga matauina i le afa o le vaitaimi, ma mafua ai ona tulei e le gradient le fofo i le itu sese.
E masani ona maua le faʻataʻitaʻiga muamua mai:
– fa'aliliuga o le taimi e malaga ai (tomography),
– faʻataʻitaʻiga o le saoasaoa lautele mai suʻesuʻega faʻale-geologia,
– pe o se auala e tele fua (amata mai i taimi maualalo).
3.3 Galuega Fa'atino Fa'amoemoe (Le Fetaui)
Galuega fa'atino masani:
\[
J(m)=\frac{1}{2}\sum_{s}\sum_{r}\int (d_{\text{syn}}(t; m)-d_{\text{obs}}(t))^2 \, dt
\]
lea o le \( m \) o se fa'ata'ita'iga o le paramita (e.g., saoasaoa), o le \( s \) o le fa'asinomaga puna, ma o le \( r \) o le fa'asinomaga taliaina.
E ese mai i le L2 misfit masani, e iai foʻi isi misfits e faʻaitiitia ai le osooso o le taʻavale, mo se faʻataʻitaʻiga:
– le fetaui lelei e faʻavae i luga o le teutusi,
– le fetaui lelei i le vaega,
- felauaiga sili ona lelei (Wasserstein),
– pe tutusa ni faamama.
3.4 Fuafuaga o le Gradient: Metotia o le Adjoint-State
O se tasi o vaega autū o le FWI o le auala e fa'atino ai le fuafuaina lelei o gradients. Ona o le tele o fa'asologa o fa'ata'ita'iga, e le mafai ai ona maua sa'o mai fa'amaumauga fa'afuainumera. O le fofo o le metotia adjoint-state.
O le ata faigofie ona malamalama i ai:
1. Fa'ata'ita'iga i luma: fuafua le fanua o galu i luma mai le puna i le fa'ata'ita'iga o lo'o iai nei.
2. Fuafua le aofaʻi o faʻamaumauga o totoe \( \Delta d = d_{\text{syn}} – d_{\text{obs}} \).
3. Fa'ata'ita'iga fa'aopoopo: tuiina le mea totoe e fai ma "punaoa toe fo'i mai" mai le tulaga e talia ai ma fa'asalalau i tua i le taimi.
4. O le fesoota’iga i le va o le galu i luma ma le galu feso’ota’i e maua ai se suiga i fa’atulagaga o le fa’ata’ita’iga.
Faatasi ai ma lenei metotia, o le tau fa'akomepiuta o le gradient e tutusa ma le faaluaina o le fa'ata'ita'iga o galu i le punaoa ta'itasi (luma + adjoint), o lea e tele lava ae mafai ona faia i le HPC/GPU.
3.5 Fuafuaga Fa'afouina o le Fa'ata'ita'iga (Fa'aleleia Atili)
O le taimi lava e maua ai le gradient \( \nabla J \), ona faʻafouina lea o le faʻataʻitaʻiga e faʻaaoga ai se metotia faʻaleleia atili, mo se faʻataʻitaʻiga:
– Fa'asolo ifo sili ona ma'ai (faigofie),
– Fa'asologa Fa'atasi,
– L-BFGS (e masani ona faʻaaogaina ona e aoga mo faʻafitauli tetele),
– po'o le metotia o Newton/Quasi-Newton.
Fa'afouga fa'avae:
\[
m_{k+1} = m_k – \alpha_k \, H_k^{-1}\nabla J(m_k)
\]
lea o le \( \alpha_k \) o le umi o le laasaga , ma le \( H_k^{-1} \) o le fa'atusatusaga fa'afeagai a Hessian (e.g. i le L-BFGS).
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4. Fa'asologa o Galuega a le Algorithm FWI (Pu'upu'u)
I se tulaga lautele, e fa'aauau pea ona fa'atino le FWI:
1. Filifili le faʻataʻitaʻiga muamua \( m_0 \).
2. Mo punaoa taʻitasi:
– fai le faʻataʻitaʻiga i luma → faʻamatalaga faʻapitoa,
– fuafua ia mea e totoe e faʻatusatusa i faʻamaumauga o le matauina,
- faia faʻataʻitaʻiga faʻatasi,
– fa'aputuga o le gradient.
3. Fa'aoga le fa'atulagaina muamua (e.g. fa'amama po'o le fa'alelei o le malamalama).
4. Fa'afou le fa'ata'ita'iga i metotia fa'aleleia atili.
5. Toe fai se'ia o'o ina o'o atu i le fa'atasiga po'o le tapula'a o le fa'ata'ita'iga.
E masani ona fa'agaoioia le FWI i le tele o fua, e amata mai i fua maualalo (fa'asa'oina o vaega tetele o le fa'ata'ita'iga) ona agai lea i luga i fua maualuga (fa'aopoopoina o fa'amatalaga).
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5. Luʻitau Autū i le FWI
5.1 Faase'e Uila
O le faʻafitauli sili lea ona lauiloa. Afai e le o "i totonu o le vaega" faʻamaumauga faʻapitoa ma faʻamaumauga matauina, e mafai e le L2 misfit ona taʻitaʻia ai le faʻaleleia atili i le false local minima. O le fofo lautele:
– amata mai i taimi e matuā maualalo lava,
– faaleleia le uluai faataitaiga (tomography),
- faʻaaogaina o isi mea e le fetaui lelei,
– fa'aaoga ni fuafuaga mo le fa'avasegaina o taimi ma le filifilia o fa'amaumauga.
5.2 Tau Fa'atatau
O le 3D FWI fa'atasi ai ma le tele o punaoa e mafai ona mana'omia ai le faitau afe i le miliona o fa'ata'ita'iga o galu. O lenei mea e mana'omia ai:
– fa'akomepiuta fa'atasi (fa'aputuga, GPU),
– sefeina o manatua (siaki e sefe ai galu),
– fa’apea fo’i ma fuafuaga mo le filifilia o vaega autū o punaoa (fa’ailogaina o punaoa po’o le mini-batch ala machine learning).
5.3 Fisiki ma le Lē Tutusa o le Pisa
O faʻamaumauga o le fanua e aofia ai le pisa, aafiaga o meafaifaaili, anisotropy, attenuation (Q), faʻalavelave o le topography, ma le le mautinoa o le puna. Afai e faigofie tele le faʻataʻitaʻiga i luma (e.g., leo pe a faʻalelei le ala), e mafai ona faʻaituau taunuuga o le inversion.
5.4 Fa'atulagaga o le Fa'ata'ita'iga
O le filifilia po'o fea parakalafa e fa'aliliuina (e.g., \( v_p \), density, \( v_s \), anisotropy, Q) e a'afia ai le maaleale ma le mautu. O le tele naua o parakalafa e mafai ona mafua ai ni fefa'ataua'iga ma fa'aleagaina ai le convergence.
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6. Talosaga mo le FWI
E fa'aaogaina lautele le FWI mo:
– suʻesuʻega o le suauʻu ma le kesi: faʻaleleia atili o le foʻiaina o faʻataʻitaʻiga o le saoasaoa, fesoasoani i le femalagaʻi ma le faʻamatalaina o fausaga,
– geothermal: fa'afanua o sone malepelepe ma suiga o le lithology,
– mafui'e fa'alelalolagi/fa'aitulagi: ata o le 'ofu ma le pa'u,
– inisinia fa'ale-geotechnical ma latalata i le fogā'ele'ele: fa'afanua papa'u mo fa'avae, ana, ma le fa'aitiitia o fa'afitauli.
E manino lelei penefiti o le FWI pe a lavelave le auala ma e tele faʻamatalaga o galu i faʻamatalaga o galu: o diffractions laiti, telepaths, ma tele e masani ona manatu i ai o le faʻalavelave e mafai moni lava ona avea ma punaoa o faʻamatalaga.
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7. Faaiuga
O le Full Waveform Inversion o se algorithm inversion seismic e faʻaaogaina ai faʻamatalaga taua o loʻo i totonu o waveforms e fausia ai ni faʻataʻitaʻiga i lalo o le fogaeleele e maualuga le iugafono. O lona ki i le manuia o loʻo taoto i le faʻataʻitaʻiga saʻo o le faʻatusatusaga o galu, faʻatusatusaga lelei o le gradient e faʻaaoga ai le metotia adjoint-state, ma fuafuaga faʻaleleia e aloese ai mai le faʻaitiitia o le lotoifale e pei o le osooso o le taʻamilosaga. E ui lava i ona manaʻoga maualuga faʻakomepiuta ma le mamanuina ma le faʻaeteete o le workflow, ua faʻamaonia le FWI o se auala mamana i le geoimaging ma le suʻesuʻeina o punaoa.
Afai e te manaʻo ai, e mafai ona ou faʻaauauina nisi tusiga faʻapitoa e faʻaopoopo i ai—mo se faʻataʻitaʻiga, o le talanoaina o le adjoint gradient derivation i se tulaga aloaʻia, faʻataʻitaʻiga o le FWI pseudocode, poʻo le band-pass ma le windowing-based multiscale strategies mo faʻamatalaga moni.
