Kako izračunati kvartile, decile in percentile v statističnih podatkih
V statistiki moramo pogosto določiti položaj vrednosti znotraj nabora podatkov. Preprost izračun povprečja ali mediane ni zadosten, saj te mere ne opišejo, kako so podatki porazdeljeni in kako se opazovanje primerja z drugimi. Tukaj pridejo v poštev kvartili, decili in percentili. Te tri so pozicijske mere, ki delijo razvrščene podatke na enake dele. Ta članek obravnava definicije, splošne korake in kako izračunati kvartile, decile in percentile tako za posamezne kot za združene nabore podatkov.
-
1. Osnovni koncept: Podatki morajo biti razvrščeni
Pred izračunom kvartilov, decilov ali percentilov je najpomembnejši korak razvrščanje podatkov od najmanjšega do največjega. Ko so podatki razvrščeni, lahko določimo lokacijo kvartilov, decilov ali percentilov na podlagi njihovih indeksnih položajev.
Na splošno:
– Kvartili delijo podatke na 4 dele.
– Decili delijo podatke na 10 delov.
– Percentili delijo podatke na 100 delov.
V praksi se kvartili, decili in percentili pogosto uporabljajo za analizo rezultatov testov, podatkov o dohodku, antropometričnih meritev (višina/teža) in ocenjevanje uspešnosti.
-
2. Kako izračunati kvartile (Q1, Q2, Q3)
A. Kvartili v posameznih podatkih (nezdruženi)
Kvartili so sestavljeni iz:
– Q1: spodnji kvartil (25 % podatkov je pod njim)
– Q2: mediana (50 %)
– Q3: zgornji kvartil (75 %)
Koraki za izračun posameznih podatkovnih kvartilov:
1. Razvrstite podatke.
2. Izračunajte kvartilni položaj z uporabo formule za položaj:
– Položaj Q1 = \((n+1)/4\)
– Položaj Q2 = \(2(n+1)/4\) ali \((n+1)/2\)
– Položaj Q3 = \(3(n+1)/4\)
Če je položaj celo število, vzemite vrednost na tem položaju. Če je položaj ulomek, interpolirajte (vzemite vrednost med dvema najbližjima podatkovnima točkama).
Hiter primer:
Razvrščeni podatki: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Položaj Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → je med 2. in 3. podatkom.
Torej je Q1 med 6 in 7. Interpolacija:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Kvartili v združenih podatkih (porazdelitev pogostosti)
Za združene podatke (npr. razredne intervale) se kvartili izračunajo po formuli:
\[
Q_k = L + (((k4n – F)f) krat c
\]
Informacije:
– \(Q_k\): k-ti kvartil (k = 1, 2, 3)
– \(L\): spodnji rob kvartilnega razreda
– \(n\): število podatkov (skupna frekvenca)
– \(F\): kumulativna frekvenca pred kvartilnim razredom
– \(f\): frekvenca v kvartilnem razredu
– \(c\): dolžina razreda
Splošni koraki:
1. Ustvarite kumulativno frekvenco.
2. Določite lokacijo kvartila: \(k/4 \krat n\).
3. Poiščite razred, ki vsebuje ta položaj.
4. Vnesite v formulo.
-
3. Kako izračunati decile (D1 do D9)
Decili delijo podatke na 10 delov, tako da:
– \(D_1\) označuje spodnjih 10 % podatkov,
– \(D_5\) je enako mediani,
– \(D_9\) označuje 90-odstotno omejitev podatkov.
A. Decili v posameznih podatkih
Formula za decilni položaj:
\[
\text{Položaj} D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
kjer je \(k = 1,2,\pike,9\).
Ko je položaj določen, je metoda za določitev vrednosti enaka kot za kvartil: če je celo število, ga vzemite neposredno, če je delno, pa interpolirajte.
-
B. Decili v združenih podatkih
Decilna formula za združene podatke:
\[
D_k = L + (((k10n – F)f) krat c
\]
Opis je enak kot kvartil, le da je delitelj 10.
Korak:
1. Izračunajte \(k/10 \krat n\).
2. Določite decilni razred na podlagi kumulativne frekvence.
3. Nadomestite v formulo.
Decili se pogosto uporabljajo v ekonomski analizi, na primer za razdelitev dohodka ljudi v 10 skupin (decil 1 je najrevnejši, decil 10 pa najbogatejši).
-
4. Kako izračunati percentile (P1 do P99)
Percentili so podrobnejši, ker podatke delijo na 100 delov. Vrednost P25 = Q1, P50 = mediana in P75 = Q3. To pomeni, da so kvartili pravzaprav poseben primer percentilov.
A. Percentili na posameznih podatkih
Formula za percentilni položaj:
\[
\text{Položaj} P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
kjer je \(k = 1,2,\pike,99\).
Postopek je enak: razvrstite podatke, izračunajte položaj, nato vzemite vrednost ali interpolirajte.
-
B. Percentili v združenih podatkih
Formula za percentil združenih podatkov:
\[
P_k = L + ((k100n – F)f) krat c
\]
Koraki so enaki kot pri decilih/kvartilih:
1. Določite položaj \(k/100 \krat n\).
2. Poiščite percentilni razred kumulativne frekvence.
3. Uporabite formulo.
Percentili se pogosto uporabljajo pri akademskih in zdravstvenih ocenah. Na primer, otrokova višina pri 80. percentilu pomeni, da je otrok višji od 80 % otrok njegove starosti.
-
5. Pomembni nasveti in pogoste napake
1. Podatki morajo biti razvrščeni (zlasti posamezni podatki). Brez razvrščanja kvartili/decili/percentili nimajo pomena.
2. Če uporabljate zvezne koncepte, se prepričajte, da uporabljate robove razredov na združenih podatkih (ne meja razredov).
3. Kumulativna frekvenca mora biti pravilna, ker se kvartilni/decilni/percentilni razred določi iz akumulirane frekvence.
4. Bodite pozorni na dolžino razreda (c). Dolžina razreda ne sme biti napačna, saj vpliva na rezultate izračuna.
5. Interpolacija je pomembna, kadar položaji niso zaokroženi. Mnogi študenti takoj zaokrožijo položaje, čeprav lahko to zmanjša natančnost.
-
6. Zaključek
Kvartili, decili in percentili so pomembna statistična orodja za razumevanje porazdelitve podatkov. Kvartili so primerni za preproste povzetke (npr. v škatlastem diagramu), decili so uporabni za podrobnejše združevanja, kot je analiza dohodka, medtem ko percentili pomagajo oceniti položaj zelo specifičnega posameznika znotraj populacije. Z razumevanjem osnovnih korakov – urejanja podatkov, določanja položaja in uporabe ustreznih formul za posamezne ali združene podatke – lahko izračunate kvartile, decile in percentile z večjo natančnostjo in zaupanjem.
Če želite, lahko dodam celoten primer združene podatkovne tabele (interval, frekvenca, kumulativna frekvenca) in nato podrobno izračunam Q1, D7 in P85, da bo lažje vaditi.
