Primeri vprašanj in razprava o krožnih izsekih
Izseki kroga so pomembna tema v matematiki, ki se pogosto pojavlja na izpitih in vajah. Izsek je del kroga, omejen z dvema polmeroma in lokom, ki ju povezuje. V tem članku bomo obravnavali več primerov problemov o izsekih kroga, skupaj s podrobnimi razlagami, da bi poglobili naše razumevanje.
Definicija krožnega izseka
Izsek kroga je izsek kroga, omejen z dvema polmeroma in enim lokom. Površina izseka se izračuna na podlagi deleža celotne površine kroga. Glavna formula, ki se uporablja za izračun izseka, je naslednja:
– Območje merjenja: \[L_merjenje = \frac{\theta}{360^\circ} \krat \pi \krat r^2\]
– Dolžina loka: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krat 2\pi r\]
Kje:
– \( \theta \) je velikost sektorskega kota v stopinjah,
– \( r \) je polmer kroga,
– \( \pi \) je konstanta (približno 3.14159).
Vzorčna vprašanja in razprava
Vprašanje 1:
Glede na krog s polmerom 10 cm in izsekom z osrednjim kotom 90°. Izračunajte površino izseka.
Razprava:
Znano je:
– \(r = 10 \) cm
– \( \theta = 90^\circ \)
Za površino sektorja uporabljamo formulo:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krat \pi \krat r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \krat \pi \krat (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \krat \pi \krat 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Če je \( \pi \) enak 3.14, potem:
\[L_juring = 25 \krat 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
Torej je površina sektorja 78.5 cm².
Vprašanje 2:
Izsek kroga ima polmer 7 cm in dolžino loka 11 cm. Določite osrednji kot izseka v radianih.
Razprava:
Znano je:
– \(r = 7 \) cm
– Dolžina loka \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Za določitev kota \theta uporabimo formulo za dolžino loka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krat 2\pi r\]
Ker moramo kot izračunati v radianih, 360° nadomestimo z \(2\pi\) radiani:
\[P_b = \theta \krat r\]
\[11 = \theta \krat 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \približno 1.57 \text{ rad}\]
Torej je osrednji kot sektorja 1.57 radiana.
Vprašanje 3:
Krog s polmerom 16 cm ima izsek s površino 200 cm². Izračunajte osrednji kot izseka.
Razprava:
Znano je:
– \(r = 16 \) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Za iskanje \( \theta \) uporabimo formulo za površino sektorja:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krat \pi \krat r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \krat \pi \krat (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \krat \pi \krat 256\]
\[200 = \frac{\theta \krat 256 \krat \pi}{360^\circ}\]
\[200 \krat 360 \circ = \theta \krat 256 \krat 3.14\]
\[72000 = \theta \krat 256 \krat 3.14\]
\[72000 = \theta \krat 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \približno 89.45^\circ\]
Torej je osrednji kot sektorja približno 89.45°.
Vprašanje 4:
Izračunaj celotni obseg izseka, ki ima polmer 12 cm in osrednji kot 120°.
Razprava:
Znano je:
– \(r = 12 \) cm
– \( \theta = 120^\circ \)
Najprej poiščemo dolžino loka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krat 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \krat 2\pi \krat 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \krat 2\pi \krat 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ cm}\]
Nato izračunamo obseg sektorja (dolžina loka + dva polmera):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \krat 12\cm} + 8\pi\cm}\]
\[K = 24 cm + 8 π cm]
Če je \( \pi \) enak 3.14, potem:
\[K = 24\cm} + 8 \krat 3.14\cm}\]
\[K = 24 cm + 25.12 cm
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Torej je celoten obseg sektorja 49.12 cm.
Vprašanje 5:
Če ima krog s polmerom 18 cm izsek, ki tvori kot 45°, določite dolžino loka in ploščino izseka.
Razprava:
Znano je:
– \(r = 18 \) cm
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Dolžina loka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krat 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \krat 2\pi \krat 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \krat 36 \pi\cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ cm}\]
Če je \( \pi \) enak 3.14, potem:
\[P_b = 4.5 \krat 3.14\cm \približno 14.13\cm\]
Torej je dolžina loka približno 14.13 cm.
2. Območje sektorja:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krat \pi \krat r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \krat \pi \krat (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \krat \pi \krat 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Če je \( \pi \) enak 3.14, potem:
\[L_juring = 40.5 \krat 3.14\text{ cm}^2 \približno 127.17\text{ cm}^2\]
Torej je površina sektorja približno 127.17 cm².
Zaključek
V tem članku smo obravnavali več primerov problemov, povezanih z izseki kroga in njihovimi rešitvami. Bistvo razumevanja izsekov kroga je v obvladovanju osnovnih formul za izračun površine izseka in dolžine loka. Pogosta vaja in razumevanje uporabe teh formul za različne vrste problemov vam bosta upajmo pomagala izboljšati vašo sposobnost reševanja podobnih problemov.
