Primeri vprašanj in razprava o binomski porazdelitvi
Binomska porazdelitev je ena najpogosteje uporabljenih diskretnih verjetnostnih porazdelitev. Uporabna je za modeliranje števila uspehov v več enakih, neodvisnih poskusih, od katerih vsak povzroči bodisi uspeh bodisi neuspeh. V tem članku se bomo podrobneje poglobili v binomsko porazdelitev z več primeri in podrobno razpravo.
Uvod v binomsko porazdelitev
Glavne značilnosti binomske porazdelitve:
1. n: Število poskusov ali ponovitev.
2. p: Verjetnost uspeha v vsakem poskusu.
3. q = 1-p: Verjetnost neuspeha v vsakem poskusu.
Funkcija verjetnosti mase binomske porazdelitve je:
\[ P(X = k) = {n \izberi k} p^k (1-p)^{nk} \]
di mana:
– \( {n \izberi k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Naključna spremenljivka, ki predstavlja število uspehov.
– \( k \): Število iskanih uspehov.
Vzorčna vprašanja in razprava
Začnimo z nekaj primeri problemov, da bi podrobneje razumeli koncept binomske porazdelitve.
Primer 1: Izbira iz skupine študentov
Na primer, recimo, da imamo skupino 10 študentov in je verjetnost, da bo vsak študent izbran za sodelovanje na tekmovanju, 0,3. Želimo vedeti, kolikšna je verjetnost, da bodo izbrani natanko 4 študenti.
1. korak: Določite parametre binomske porazdelitve.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
2. korak: Z binomsko porazdelitvijo izračunajte verjetnost \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \izberi 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Izračun \( {10 \izberite 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Sedaj izračunajte \( (0.3)^4 \) in \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Torej,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \približno 0.20012 \]
Torej je verjetnost, da bodo izbrani natanko 4 študenti, približno 0.20012 ali 20.012 %.
Primer 2: Verjetnost manjša ali enaka 2
Sedaj nas na primer vprašajo o verjetnosti, da bo izbranih manj kot ali enako 2 študentom.
1. korak: Izračunati moramo \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) in \( P(X = 2) \).
– Za \(P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \izberi 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \izberi 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Za \(P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \izberi 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \izberi 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Za \(P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \izberi 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \izberi 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
2. korak: Seštejte verjetnosti.
\[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Torej je verjetnost, da bo izbranih manj kot ali enako 2 študentom, približno 0.7740671 ali 77.41 %.
Primer 3: Verjetnost vsaj 8
Če se poskus izvede 12-krat in je verjetnost uspeha v vsakem poskusu 0.5, kakšna je verjetnost, da se zgodi vsaj 8 uspehov?
1. korak: Nastavite binomske parametre: \( n = 12, p = 0.5 \).
2. korak: Poiščite verjetnost za \(X \geq 8 \).
To zahteva izračun več posameznih verjetnosti in njihovo seštevanje:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Štejte enega za drugim:
– Za \(P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \izberi 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \izberi 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Za \(P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \izberi 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \izberi 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Za \(P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \izberi 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \izberi 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Za \(P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \izberi 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \izberi 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Za \(P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \izberi 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \izberi 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
3. korak: Seštejte vse verjetnosti.
\[ P(X √(8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \približno 0.1938477 \]
Torej je verjetnost, da se v 12 poskusih zgodi vsaj 8 uspehov, približno 0.1938477 ali 19.38 %.
Zaključek
Binomska porazdelitev je temeljni koncept v statistiki, ki je ključnega pomena v številnih praktičnih aplikacijah. Z razumevanjem, kako izračunati verjetnosti za različne primere binomske porazdelitve, kot je prikazano v zgornjih primerih, lahko ta koncept uporabimo v resničnih situacijah. Ta vaja tudi utrjuje naše razumevanje delovanja verjetnostnih struktur v jasnem in organiziranem kontekstu.
