Techniky na určenie priemernej odchýlky v štatistických údajoch
V štatistike často nestačí len pochopiť „stred“ údajov – napríklad prostredníctvom priemeru alebo mediánu. Dva súbory údajov môžu mať rovnaký priemer, ale výrazne sa líšiť v úrovni „variácie“. Preto sú dôležité miery rozptylu. Jednou z mier rozptylu, ktorá sa dá relatívne ľahko pochopiť a používať, je priemerná odchýlka. Tento článok rozoberá techniky na určenie priemernej odchýlky v rôznych formách štatistických údajov, doplnené o kroky výpočtu a príklady.
Pochopenie priemernej odchýlky
Priemerná odchýlka je miera, ktorá udáva priemernú vzdialenosť každého dátového bodu od miery centrálnej tendencie, zvyčajne aritmetického priemeru (priemeru) alebo mediánu. Predmetná vzdialenosť je absolútna hodnota rozdielu medzi údajmi a centrálnou hodnotou, takže žiadny záporný rozdiel „nevyruší“ kladný rozdiel.
Vo všeobecnosti priemerná odchýlka opisuje, ako ďaleko sú dáta rozptýlené od svojej centrálnej hodnoty. Čím menšia je priemerná odchýlka, tým sú dáta hustejšie zoskupené okolo stredu; čím väčšia je hodnota, tým sú dáta variabilnejšie.
Prečo používať absolútnu hodnotu?
Ak vypočítame priemer rozdielov medzi údajmi a priemerom bez absolútnej hodnoty, súčet rozdielov bude vždy nulový (pretože priemer je rovnovážny bod). Napríklad, ak existujú rozdiely +5 a -5, ich súčet je 0. Preto sa používajú absolútne hodnoty, aby odchýlky skutočne odrážali vzdialenosť údajov od stredu.
Vzorec pre výpočet priemernej odchýlky pre jednotlivé údaje
Pre jednotlivé údaje (nezoskupené) sa priemerná odchýlka od priemeru formuluje:
\[
SR = \frac{\suma |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Keterangan:
– \( SR \): priemerná odchýlka
– \( x_i \): i-té dáta
– \( \bar{x} \): aritmetický priemer (priemer)
– \( n \): množstvo údajov
Technika výpočtu jednotlivých údajov (kroky)
1. Vypočítajte priemer (x) všetkých údajov.
2. Vypočítajte rozdiel medzi jednotlivými údajmi a priemerom: \(x_i – \bar{x} \).
3. Vypočítajte absolútnu hodnotu každého rozdielu: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Sčítajte všetky absolútne hodnoty rozdielov.
5. Vydeľte počtom údajov \( n \).
Príklad jednotlivých údajov
Údaje o hodnotách: 6, 8, 10, 12, 14
1) Priemer:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Absolútna hodnota rozdielu:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Spolu = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Priemerná odchýlka:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
To znamená, že v priemere sa každá hodnota odchyľuje od priemeru o 2,4 jednotky (10).
Priemerná odchýlka pre časté (diskrétne) dáta
Ak sú údaje prezentované vo forme hodnôt a frekvencií (napr. tabuľka), vzorec sa zmení na:
\[
SR = \frac{\suma f_i |x_i – \bar{x}|}{\suma f_i}
\]
Keterangan:
– \( f_i \): frekvencia dát \( x_i \)
Techniky výpočtu frekvenčných údajov
1. Vypočítajte priemer: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. Vypočítajte \( |x_i-\bar{x}| \)
3. Vynásobte frekvenciou: \( f_i |x_i- \bar{x}| \)
4. Sčítajte všetky výsledky z kroku 3
5. Vydeľte celkovou frekvenciou
Príklady diskrétnych dát
| Hodnota (x) | Frekvencia (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Celková frekvencia: \(2+3+1=6\)
priemer:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Vypočítajte odchýlku:
– Pre x=5: |5−6,67|=1,67 → krát f=2 → 3,34
– Pre x=7: |7−6,67|=0,33 → krát f=3 → 0,99
– Pre x=9: |9−6,67|=2,33 → krát f=1 → 2,33
Spolu: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Priemerná odchýlka:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Priemerná odchýlka pre zoskupené údaje (interval triedy)
V zoskupených údajoch (napríklad intervalové frekvenčné rozdelenia) sa hodnoty údajov nezobrazujú jednotlivo, ale v triedach. Na tento účel sa na reprezentáciu údajov v rámci triedy používa stred triedy (xi).
Vzorec:
\[
SR=\frac{\suma f_i |x_i -\bar{x}|}{\suma f_i}
\]
Avšak \(x_i\) je stred triedy.
Techniky výpočtu skupinových údajov
1. Určte stred každej triedy:
\[
x_i=\frac{\text{dolná hranica + horná hranica}}{2}
\]
2. Vypočítajte priemer skupiny:
\[
\bar{x}=\frac{\súčet f_i x_i}{\súčet f_i}
\]
3. Vypočítajte \( |x_i-\bar{x}| \)
4. Vynásobte frekvenciou (f_i)
5. Sčítajte všetky výsledky a potom ich vydeľte celkovou frekvenciou.
Príklad skupinových údajov
Trieda f
|—|—|
| 10 – 14 | 3 |
| 15 – 19 | 5 |
| 20 – 24 | 2 |
Stred:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Celkom f = 10
priemer:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Odchýlka:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Spolu = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Priemerná odchýlka:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Priemerná odchýlka od mediánu
Okrem priemeru sa z mediánu dá vypočítať aj priemerná odchýlka. Princíp je rovnaký, líši sa len centrálna hodnota. Toto je užitočné, keď dáta obsahujú odľahlé hodnoty, pretože medián je odolnejší voči extrémnym hodnotám.
Pre jednotlivé údaje:
\[
SR_{Me}=\frac{\suma |x_i-Me|}{n}
\]
Pre frekvenčné údaje:
\[
SR_{Me}=\frac{\súčet f_i|x_i-Me|}{\súčet f_i}
\]
Výhody a obmedzenia priemernej odchýlky
prebytok:
1. Ľahko pochopiteľné, pretože používa „priemernú vzdialenosť“ od dátového centra.
2. Použite všetky údaje (nielen určité údaje).
3. Možno vypočítať pre rôzne formy prezentácie údajov.
Obmedzenia:
1. Menej populárna ako štandardná odchýlka v pokročilej štatistickej analýze.
2. Použitie absolútnych hodnôt znemožňuje niektoré algebraické manipulácie.
3. Nie je taká silná ako štandardná odchýlka v mnohých inferenčných metódach.
Zatváranie
Technika určenia priemernej odchýlky v štatistických údajoch v podstate sleduje konzistentný vzorec: určí sa centrálna hodnota (priemer alebo medián), vypočíta sa absolútna vzdialenosť každého dátového bodu (alebo stredu triedy) od stredu a potom sa tieto body spriemerujú – s prihliadnutím na frekvenciu, ak sú údaje prezentované v tabuľke. Priemerná odchýlka je vhodným meradlom rozptylu na intuitívny opis variability údajov. Pochopením týchto krokov môžete porovnať variácie medzi súbormi údajov a komplexnejšie posúdiť stabilitu súboru údajov.
Ak chcete, môžem vám pomôcť vytvoriť verziu tohto článku vo formáte školskej úlohy (s úvodom – diskusiou – záverom) alebo pridať praktické otázky spolu s diskusiou.
