Ako vypočítať kvartily, decily a percentily v štatistických údajoch
V štatistike často potrebujeme určiť pozíciu hodnoty v rámci súboru údajov. Samotný výpočet priemeru alebo mediánu nestačí, pretože tieto miery nepopisujú, ako sú údaje rozložené a ako sa pozorovanie porovnáva s ostatnými. Tu prichádzajú na rad kvartily, decily a percentily. Tieto tri sú pozičné miery, ktoré rozdeľujú zoradené údaje na rovnaké časti. Tento článok pojednáva o definíciách, všeobecných krokoch a o tom, ako vypočítať kvartily, decily a percentily pre jednotlivé aj zoskupené súbory údajov.
-
1. Základný koncept: Dáta musia byť zoradené
Pred výpočtom kvartilov, decilov alebo percentilov je najdôležitejším krokom zoradenie údajov od najmenšieho po najväčší. Po zoradení údajov môžeme určiť umiestnenie kvartilov, decilov alebo percentilov na základe ich indexových pozícií.
Vo všeobecnosti:
– Kvartily rozdeľujú dáta na 4 časti.
– Decily rozdeľujú dáta na 10 častí.
– Percentily delia dáta na 100 častí.
V praxi sa kvartily, decily a percentily bežne používajú na analýzu výsledkov testov, údajov o príjmoch, antropometrických meraní (výška/hmotnosť) a hodnotenia výkonu.
-
2. Ako vypočítať kvartily (Q1, Q2, Q3)
A. Kvartily v jednotlivých dátach (nezoskupené)
Kvartily pozostávajú z:
– Q1: dolný kvartil (25 % údajov je pod ním)
– 2. štvrťrok: medián (50 %)
– Q3: horný kvartil (75 %)
Kroky na výpočet jednotlivých dátových kvartilov:
1. Zoraďte údaje.
2. Vypočítajte pozíciu kvartilu pomocou vzorca pre výpočet pozície:
– Pozícia Q1 = \((n+1)/4\)
– Pozícia Q2 = \(2(n+1)/4\) alebo \((n+1)/2\)
– Pozícia Q3 = \(3(n+1)/4\)
Ak je pozícia celé číslo, vezmite hodnotu v tejto pozícii. Ak je pozícia zlomok, interpolujte (vezmite hodnotu medzi dvoma najbližšími dátovými bodmi).
Rýchly príklad:
Zoradené dáta: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Pozícia Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → je medzi 2. a 3. údajom.
Takže Q1 je medzi 6 a 7. Interpolácia:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Kvartily v zoskupených dátach (rozdelenie frekvencií)
Pre zoskupené údaje (napr. intervaly tried) sa kvartily vypočítavajú pomocou vzorca:
\[
Q_k = L + (((k4n – F)f) krát c
\]
Keterangan:
– \(Q_k\): k-tý kvartil (k = 1, 2, 3)
– \(L\): dolná hranica kvartilovej triedy
– \(n\): počet údajov (celková frekvencia)
– \(F\): kumulatívna frekvencia pred kvartilovou triedou
– \(f\): frekvencia v kvartilovej triede
– \(c\): dĺžka triedy
Všeobecné kroky:
1. Vytvorte kumulatívnu frekvenciu.
2. Určte umiestnenie kvartilu: \(k/4 \krát n\).
3. Nájdite triedu, ktorá obsahuje danú pozíciu.
4. Zadajte do vzorca.
-
3. Ako vypočítať decily (D1 až D9)
Decily rozdeľujú dáta na 10 častí, takže:
– \(D_1\) označuje spodnú hranicu 10 % údajov,
– \(D_5\) sa rovná mediánu,
– \(D_9\) označuje limit dát 90 %.
A. Decily v jednotlivých dátach
Vzorec pre decilovú pozíciu:
\[
\text{Pozícia} D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
kde \(k = 1,2,\bodky,9\).
Po získaní polohy je metóda na určenie hodnoty rovnaká ako pre kvartil: ak je celý, vezmite ho priamo, ak je zlomkový, interpolujte.
-
B. Decily v zoskupených údajoch
Decilový vzorec pre zoskupené dáta:
\[
D_k = L + ((k10n – F)f) krát c
\]
Popis je rovnaký ako kvartil, iba deliteľ je 10.
Langkah:
1. Vypočítajte \(k/10 \krát n\).
2. Určte decilovú triedu na základe kumulatívnej frekvencie.
3. Dosadte do vzorca.
Decily sa často používajú v ekonomickej analýze, napríklad pri rozdelení príjmov ľudí do 10 skupín (decil 1 je najchudobnejší a decil 10 je najbohatší).
-
4. Ako vypočítať percentily (P1 až P99)
Percentily sú podrobnejšie, pretože rozdeľujú dáta na 100 častí. Hodnota P25 = Q1, P50 = medián a P75 = Q3. To znamená, že kvartily sú v skutočnosti špeciálnym prípadom percentilov.
A. Percentily na jednotlivých údajoch
Vzorec pre percentilovú pozíciu:
\[
\text{Pozícia} P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
kde \(k = 1,2,\bodky,99\).
Postup je rovnaký: zoradiť dáta, vypočítať polohu a potom vziať hodnotu alebo interpolovať.
-
B. Percentily v zoskupených údajoch
Vzorec pre percentil zoskupených údajov:
\[
P_k = L + ((k = 100 n – F) f) krát c
\]
Kroky sú identické ako pri deciloch/kvartiloch:
1. Určte polohu \(k/100 \krát n\).
2. Nájdite percentilovú triedu kumulatívnej frekvencie.
3. Použite vzorec.
Percentily sa často používajú pri akademických a zdravotných hodnoteniach. Napríklad výška dieťaťa na úrovni 80. percentilu znamená, že dieťa je vyššie ako 80 % detí v jeho veku.
-
5. Dôležité tipy a bežné chyby
1. Dáta musia byť zoradené (najmä v prípade jednotlivých dát). Bez zoradenia sú kvartily/decily/percentily bezvýznamné.
2. Ak používate spojité koncepty, nezabudnite použiť hrany tried na zoskupených dátach (nie hranice tried).
3. Kumulatívna frekvencia musí byť správna, pretože kvartil/decil/percentil sa určuje z kumulatívnej frekvencie.
4. Venujte pozornosť dĺžke hodiny (c). Dĺžka hodiny nesmie byť nesprávna, pretože ovplyvňuje výsledky výpočtu.
5. Interpolácia je dôležitá, keď polohy nie sú zaokrúhlené. Mnoho študentov polohy okamžite zaokrúhli, aj keď to môže znížiť presnosť.
-
6. Záver
Kvartily, decily a percentily sú dôležité štatistické nástroje na pochopenie rozloženia údajov. Kvartily sú vhodné na jednoduché súhrny (napr. v krabicovom grafe), decily sú užitočné na podrobnejšie zoskupenia, ako je analýza príjmov, zatiaľ čo percentily pomáhajú vyhodnotiť pozíciu veľmi špecifického jednotlivca v rámci populácie. Pochopením základných krokov – usporiadania údajov, určenia pozície a používania vhodných vzorcov pre jednotlivé alebo zoskupené údaje – môžete vypočítať kvartily, decily a percentily s väčšou presnosťou a istotou.
Ak chcete, môžem pridať kompletný príklad tabuľky so zoskupenými údajmi (interval, frekvencia, kumulatívna frekvencia) a potom podrobne vypočítať Q1, D7 a P85, aby sa to ľahšie precvičovalo.
