Bernoulliho princíp a rovnica
Keď jazdíme na motorke dosť rýchlo, oblečenie, ktoré nosíme, sa vzadu nafúkne. Ak ešte neviete jazdiť na motorke, venujte pozornosť svojim rodičom alebo priateľom, ktorí jazdia na motorkách. Ich zadná časť oblečenia sa zvyčajne nafúkne, keď motorka ide rýchlo. Niekedy, keď fúka silný vietor, sa dvere domu môžu samy zatvoriť. Aj keď vietor fúka vonku, dvere sú vnútri domu.
Toto sa dá vysvetliť pomocou Bernoulliho princípu. Daniel Bernoulli (1700 – 1782) objavil princíp, ktorý možno použiť na vysvetlenie niektorých z vyššie uvedených vecí.
Bernoulliho princíp
Bernoulliho princíp hovorí, že tam, kde je rýchlosť prúdenia kvapaliny vysoká, je tlak kvapaliny nízky. Naopak, ak je rýchlosť prúdenia kvapaliny nízka, tlak sa zvýši. Keď sa motocykel pohybuje rýchlo, rýchlosť vzduchu pred a vedľa vášho tela je vysoká. Tlak vzduchu sa teda zníži. Zadná časť vášho tela je blokovaná prednou časťou tela, takže rýchlosť vzduchu za vaším telom sa nezmení na vysokú (tesne za vaším telom). V dôsledku toho sa tlak vzduchu za vaším telom zvýši. Pretože existuje rozdiel v tlaku vzduchu, kde je tlak vzduchu tesne za vaším telom väčší, vzduch tlačí vašu košeľu dozadu, takže vyzerá, akoby bola vzadu nafúknutá.
A čo dvere, ktoré sa samy zatvoria, keď vonku fúka silný vietor? Vzduch vonku sa pohybuje rýchlejšie ako vzduch vo vnútri. V dôsledku toho je tlak vzduchu vonku nižší ako tlak vzduchu vo vnútri. Kvôli tomuto tlakovému rozdielu, kde je tlak vzduchu vo vnútri vyšší, sa dvere tlačia smerom von. Inými slovami, dvere sa pohybujú z miesta s vyšším tlakom vzduchu na miesto s nižším tlakom vzduchu.
Bernoulliho rovnica
Predtým sme sa učili o Bernoulliho princípe. Bernoulli tento princíp rozvinul aj kvantitatívne. Na odvodenie Bernoulliho rovnice predpokladáme stacionárny, laminárny tok tekutiny, nestlačiteľnosť a nízku viskozitu, ktoré možno zanedbať.
V diskusii o rovnici kontinuity sme sa dozvedeli, že prietok tekutiny sa môže meniť aj v závislosti od plochy prierezu prietokovej trubice. Na základe vyššie vysvetleného Bernoulliho princípu sa tlak tekutiny môže meniť aj v závislosti od prietoku tekutiny. Tlak tekutiny sa môže meniť aj v závislosti od výšky hladiny tekutiny. Vzťah medzi tlakom, prietokom a výškou toku možno získať z Bernoulliho rovnice.
Bernoulliho rovnica je veľmi dôležitá, pretože sa dá použiť na analýzu letu lietadla, vodných elektrární, potrubných systémov atď. Aby sme Bernoulliho rovnicu, ktorú odvodíme, aplikovali všeobecne, budeme predpokladať, že tekutina prúdi cez prietokovú trubicu s nerovnakými prierezmi a tiež rôznymi výškami (pozri obrázok nižšie). Na odvodenie Bernoulliho rovnice aplikujeme vetu o práci a energii na tekutinu v oblasti prietokovej trubice. Ďalej vypočítame množstvo tekutiny a prácu vykonanú na jej pohyb.
Nepriehľadná farba v prietokovej trubici na obrázku indikuje tok kvapaliny, zatiaľ čo biela farba indikuje žiadnu kvapalinu.
Kvapalina v priereze 1 (ľavá strana) preteká o vzdialenosť L1 a núti kvapalinu v priereze 2 (pravá strana) pohybovať sa o vzdialenosť L2 . Pretože prierez 2 na pravej strane je menší, prietok kvapaliny na pravej strane prietokovej trubice je väčší (spomeňte si na rovnicu kontinuity). To spôsobuje tlakový rozdiel medzi prierezom 2 (pravá strana prietokovej trubice) a prierezom 1 (ľavá strana prietokovej trubice) - Spomeňte si na Bernoulliho princíp. Kvapalina na ľavej strane prierezu 1 vyvíja tlak P1 na kvapalinu na pravej strane a vykonáva prácu:
Potom možno rovnicu W1 zapísať ako:
W1 = p1A1L1
V priereze 2 (pravá strana prietokovej trubice) je práca vykonaná na tekutine:
W² = −p²A²L²
Znamienko záporné znamená, že pôsobiaca sila je opačná ako smer pohybu. Tekutina teda vykonáva prácu napravo od sekcie 2. Okrem toho na tekutinu pôsobí aj gravitačná sila. Vo vyššie uvedenom prípade sa určitá hmotnosť tekutiny presunie zo sekcie 1 až do L1 do sekcie 2 až do L2 , kde objem tekutiny v sekcii 1 (A1L1 ) = objem tekutiny v sekcii 2 (A2L2 ) . Práca vykonaná gravitáciou je :
W³ = −mg( h² − h¹ )
W3 = −mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Záporné znamienko je spôsobené prúdením tekutiny nahor, oproti smeru gravitácie. Celková práca vykonaná na tekutine, ako je znázornené na obrázku vyššie, je teda:
Š = Š1 + Š2 + Š3
W = P1A1L1 ‐ P2A2L2 + mgh1 ‐ mgh2
Veta o práci a energii hovorí, že celková práca vykonaná na systéme sa rovná zmene jeho kinetickej energie. Preto môžeme nahradiť prácu (W) zmenou kinetickej energie (EK² - EK¹ ).
Vyššie uvedenú rovnicu môžeme prepísať takto:
W = P1A1L1 ‐ P2A2L2 + mgh1 ‐ mgh2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Hmotnosť tekutiny pretekajúcej na vzdialenosť L1 v priereze A1 = hmotnosť tekutiny pretekajúcej na vzdialenosť L2 ( rez A2 ) . Hmotnosť tekutiny, povedzme m, má objem A1 L1 a A2 L2 , kde A1 L1 = A2 L2 ( L2 je dlhšia ako L1 ).
Teraz dosadíme, alebo nahradíme m vo vyššie uvedenej rovnici za m = ρ AL:
Toto je Bernoulliho rovnica. Bernoulliho rovnicu sme odvodili na základe princípu práce a energie, takže je to forma zákona zachovania energie.
Informácie:
P = Tlak
ρ = Hustota kvapaliny
v = Rýchlosť prúdenia kvapaliny
g = Zrýchlenie v dôsledku gravitácie
h = Výška prietokovej trubice/potrubia od povrchu zeme
Ľavá a pravá strana Bernoulliho rovnice uvedenej vyššie sa môžu vzťahovať na ľubovoľné dva body pozdĺž prietokovej trubice, takže môžeme rovnicu uvedenú vyššie prepísať ako:
Táto rovnica uvádza, že celkový súčet veličín v rovnici má v celej prietokovej trubici rovnakú hodnotu.
Teraz si zopakujeme Bernoulliho rovnicu pre niektoré prípady.
Bernoulliho rovnica pre pokojové tekutiny
Špeciálny prípad Bernoulliho rovnice sú kvapaliny v pokoji (statické kvapaliny). Keď je kvapalina v pokoji, nemá žiadnu rýchlosť. Preto v1 = v2 = 0. V prípade kvapaliny v pokoji možno Bernoulliho rovnicu formulovať ako:
Ak h² – h¹ = h, potom túto rovnicu možno zapísať ako:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoulliho rovnica pre prietokové trubice alebo potrubia rovnakej výšky
Ak je výška prietokovej trubice alebo potrubia rovnaká, Bernoulliho rovnica sa zmení na:
