Príklady otázok týkajúcich sa Comptonovho efektu
Comptonov jav je kľúčovým javom v kvantovej fyzike. Tento objav nielen prehlbuje naše chápanie vlnovo-časticovej duality svetla, ale poskytuje aj silný dôkaz pre kvantovú teóriu žiarenia. Tento článok sa zameria na Comptonov jav, jeho základné princípy a poskytne niekoľko príkladov problémov a riešení na uplatnenie tejto koncepcie.
Pochopenie Comptonovho efektu
Comptonov jav, pomenovaný po svojom objaviteľovi Arthurovi H. Comptonovi, je jav, pri ktorom sa fotón (častica svetla) zrazí s elektrónom a zmení sa jeho vlnová dĺžka. Po zrážke fotón odovzdá časť svojej energie elektrónu, čo spôsobí zvýšenie vlnovej dĺžky fotónu (alebo zníženie jeho frekvencie).
Táto zmena vlnovej dĺžky sa nazýva Comptonov posun a možno ju vyjadriť rovnicou:
\[
Δλ = λ' – λ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Kde:
– \(Δλ) je zmena vlnovej dĺžky fotónu,
– \(\lambda\) je počiatočná vlnová dĺžka fotónu,
– \(\lambda'\) je vlnová dĺžka fotónu po zrážke,
– \(h\) je Planckova konštanta (\(6.626 \krát 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \(m_e\) je hmotnosť elektrónu (\(9.109 \krát 10^{-31} \, \text{kg}\)),
– \(c\) je rýchlosť svetla (\(3 \krát 10^8 \, \text{m/s}\)),
– \(\theta\) je uhol rozptylu fotónu.
Vzorové otázky a diskusia
Otázka 1
Fotón s vlnovou dĺžkou 0,1 nm narazí na stacionárny elektrón. Fotón sa potom rozptýli v uhle 90° od svojho pôvodného smeru. Vypočítajte vlnovú dĺžku fotónu po zrážke!
Diskusia:
Je známe:
– Počiatočná vlnová dĺžka, \(\lambda = 0.1 \, \text{nm} = 0.1 \krát 10^{-9} \text{m}\)
– Uhol rozptylu, \(\theta = 90^\circ \)
Použitie Comptonovej posuvnej rovnice:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Dosaďte hodnoty Planckovej konštanty, hmotnosti elektrónu a rýchlosti svetla:
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻¹ + 9.109 krát 10⁻¹ + 3 krát 10⁻¹ (1 – cos 90°)
\]
Keďže \(\cos 90^\circ = 0\),
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻⁴ + 9.109 krát 10⁻⁴ + 3 krát 10⁻⁴
\]
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻⁴ + 2.7327 krát 10⁻⁴ + 22⁻¹
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \krát 10^{-12} \, \text{m} = 0.00243 \, \text{nm}
\]
Takže vlnová dĺžka po zrážke je:
\[
λ = λ + Δ λ = 0.1 nm + 0.00243 nm = 0.10243 nm
\]
Otázka 2
Fotón s vlnovou dĺžkou ( λ = 0.05 nm) sa rozptýli pod uhlom ( θ = 120°). Určte vlnovú dĺžku fotónu po rozptyle.
Diskusia:
Je známe:
– Počiatočná vlnová dĺžka, \(\lambda = 0.05 \, \text{nm} = 0.05 \krát 10^{-9} \text{m}\)
– Uhol rozptylu, \(\theta = 120^\circ \)
Použitie Comptonovej posuvnej rovnice:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Dosaďte hodnoty Planckovej konštanty, hmotnosti elektrónu a rýchlosti svetla:
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻¹ + 9.109 krát 10⁻¹ + 3 krát 10⁻¹ (1 – cos 120°)
\]
Keďže \(\cos 120^\circ = -0.5\),
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻¹ + 9.109 krát 10⁻¹ + 3 krát 10⁻¹ (1 – (-0.5))
\]
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻⁴ + 9.109 krát 10⁻⁴ krát 3 krát 10⁻⁴ (1 + 0.5)
\]
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻⁴ + 2.7327 krát 10⁻² + 1.5
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \krát 10^{-12} \, \text{m} \krát 1.5 = 3.645 \krát 10^{-12} \, \text{m} = 0.003645 \, \text{nm}
\]
Takže vlnová dĺžka po zrážke je:
\[
λ = λ + Δ λ = 0.05 nm + 0.003645 nm = 0.053645 nm
\]
Otázka 3
Ak je vlnová dĺžka fotónu po rozptyle 0.045 nm a uhol rozptylu je \(60^\circ\), určte vlnovú dĺžku fotónu pred rozptylom.
Diskusia:
Je známe:
– Vlnová dĺžka po zrážke, \(\lambda' = 0.045 \, \text{nm} = 0.045 \krát 10^{-9} \, \text{m}\)
– Uhol rozptylu, \(\theta = 60^\circ \)
Použitie Comptonovej posuvnej rovnice:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Dosaďte hodnoty Planckovej konštanty, hmotnosti elektrónu a rýchlosti svetla:
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻¹ + 9.109 krát 10⁻¹ + 3 krát 10⁻¹ (1 – cos 60°)
\]
Keďže \(\cos 60^\circ = 0.5\),
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻⁴ + 9.109 krát 10⁻⁴ + 3 krát 10⁻⁴ (1 – 0.5)
\]
\[
Δλ = 6.626 krát 10⁻⁴ + 2.7327 krát 10⁻² + 0.5
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \krát 10^{-12} \, \text{m} \krát 0.5 = 1.215 \krát 10^{-12} \, \text{m} = 0.001215 \, \text{nm}
\]
Vlnová dĺžka po zrážke je známa:
\[
λ = λ + Δ λ
\]
Takže vlnová dĺžka pred rozptylom je:
\[
λ = λ' – Δ λ = 0.045 nm – 0.001215 nm = 0.043785 nm
\]
Záver
Pochopenie Comptonovho efektu nám umožňuje lepšie pochopiť interakciu medzi fotónmi a elektrónmi v kontexte kvantovej fyziky. Tento posun vlnovej dĺžky v dôsledku rozptylu demonštruje vlnovo-časticovú dualitu svetla a posilňuje kvantovú teóriu žiarenia. Vyššie uvedené príklady sú priamymi aplikáciami Comptonovej rovnice, ktoré nám môžu pomôcť pochopiť základný koncept a vypočítať zmeny vlnovej dĺžky za rôznych podmienok.
