گھٽ ۾ گھٽ چورس طريقو: اندازي لاءِ هڪ رياضياتي طريقو
پنڊال
گھٽ ۾ گھٽ چورس جو طريقو هڪ شمارياتي ٽيڪنڪ آهي جيڪو ريگريشن ماڊل ۾ پيرا ميٽرز جو اندازو لڳائڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي اصل قدرن ۽ ماڊل پاران پيش ڪيل قدرن جي وچ ۾ چورس غلطين جي مجموعن کي گھٽ ۾ گھٽ ڪندي. هي طريقو تمام گهڻو مشهور آهي ۽ اڪثر ڪري مختلف شعبن جهڙوڪ معاشيات، انجنيئرنگ، حياتيات، ۽ سماجي سائنس ۾ استعمال ٿيندو آهي. گھٽ ۾ گھٽ چورس جو تصور پهريون ڀيرو 19 صدي جي شروعات ۾ ايڊرين-ميري ليجنڊر پاران پيش ڪيو ويو هو ۽ بعد ۾ ڪارل فريڊرڪ گاس پاران وڌيڪ ترقي ڪئي وئي.
بنيادي سمجھ
عام طور تي، گھٽ ۾ گھٽ اسڪوائر جو طريقو مقصد ڊيٽا سيٽ لاءِ بهترين فٽ ريگريشن لائن ڳولڻ آهي باقيات جي چورس جي مجموعن کي گھٽ ڪندي، يا اڳڪٿي جي غلطين کي. باقيات مشاهدو ڪيل قدر ۽ اڳڪٿي ڪيل قدر جي وچ ۾ فرق آهي.
جيڪڏهن اسان وٽ هڪ ڊيٽا سيٽ آهي جنهن ۾ مشاهدن جي جوڙن \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)\) شامل آهن، ته پوءِ اسان جو مقصد اهو آهي ته لڪير \(y = mx + b\) ڳوليون جيڪا چورس غلطين جي مجموعن کي گھٽ ڪري ٿي sum\( \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 \).
هي طريقو سادي لڪير ريگريشن ۽ گھڻن لڪير ريگريشن ٻنهي تي لاڳو ڪري سگهجي ٿو. سادي لڪير ريگريشن ۾، اسان وٽ صرف هڪ آزاد متغير (x) آهي، جڏهن ته گھڻن لڪير ريگريشن ۾ هڪ کان وڌيڪ آزاد متغير شامل آهن.
سادي لڪير ريگريشن
اچو ته سادي لڪير ريگريشن سان شروع ڪريون. فرض ڪريو ته اسان وٽ هڪ ڊيٽا سيٽ آهي \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)). سادو لڪير ريگريشن ماڊل جيڪو اسان فٽ ڪرڻ چاهيون ٿا اهو آهي:
\[ y = mx + b + \ايپسيلون \]
جتي \( m \) ڍلون آهي، \( b \) مداخلت آهي، ۽ \( \epsilon \) بي ترتيب غلطي آهي.
گھٽ ۾ گھٽ اسڪوائر طريقو استعمال ڪندي، اسان اسڪوائر غلطي فنڪشن کي گھٽ ۾ گھٽ ڪندي پيرا ميٽرز \( m \) ۽ \( b \) جا تخمينو ڳولي سگھون ٿا:
\[ ايس (م، ب) = \ سم_{آءِ = 1} ^ {ن} (ي_آءِ - (ايم_آءِ + ب)) ^ 2 \]
\( S(m, b) \) کي گھٽ ڪرڻ لاءِ، اسان \( m \) ۽ \( b \) جي حوالي سان \( S \) جا جزوي نڪتل ڳوليون ٿا، ۽ پوءِ \( m \) ۽ \( b \) لاءِ هي مساوات حل ڪريون ٿا:
\[ \شروع{منسلڪ}
\frac{\جزو S}{\جزو m} &= -2 \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i – (mx_i + b)) = 0 \\
\frac{\partial S}{\partial b} &= -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b)) = 0
\ آخر { ترتيب ڏنل } \]
سادگي کان پوءِ، اسان هيٺيان ٻه عام مساواتون حاصل ڪندا آهيون:
\[ \شروع{منسلڪ}
n\bar{y} ۽= م \sum_{i=1}^{n} x_i + nb \\
\sum_{i=1}^{n}x_i y_i &= m \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + b \sum_{i=1}^{n}x_i
\ آخر { ترتيب ڏنل } \]
مٿي ڏنل مساواتن جي نظام کي حل ڪرڻ سان، اسان \( m \) ۽ \( b \) جون قدرون ڳولي سگهون ٿا جيڪي چورس غلطي کي گھٽ ڪن ٿيون.
گھڻن لڪير ريگريشن
گھڻن لڪير واري ريگريشن ۾، اسان کي اهڙي صورتحال کي منهن ڏيڻو پوي ٿو جتي اسان وٽ هڪ کان وڌيڪ آزاد متغير آهن. فرض ڪريو ته اسان وٽ ڊيٽا هڪ ٽوپل \((x_{i1}, x_{i2}, …, x_{ik}, y_i)\) جي صورت ۾ آهي. ريگريشن ماڊل جيڪو اسان استعمال ڪريون ٿا اهو آهي:
\[ y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + … + b_k x_k + \ايپسيلون \]
هي مساوات ميٽرڪس فارم ۾ لکي سگهجي ٿي:
\[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{b} + \mathbf{\epsilon} \]
انسان ۾:
– \( \mathbf{y} \) مشاهدو ڪيل y قدرن جو هڪ ڪالمن ویکٹر آهي.
– \( \mathbf{X} \) مشاهدو ڪيل x قدرن جو هڪ ميٽرڪس آهي (انٽرسيپٽ لاءِ ڪالم 1 سميت).
– \( \mathbf{b} \) پيرا ميٽرز جو هڪ ڪالم ویکٹر آهي (جنهن ۾ \( b_0 \) شامل آهن).
گھٽ ۾ گھٽ چورس طريقي جو مقصد ھيٺ ڏنل چورس غلطي فنڪشن کي گھٽ ڪرڻ آھي:
\[ S(\mathbf{b}) = (\mathbf{y} - \mathbf{Xb})^T (\mathbf{y} - \mathbf{Xb}) \]
هن فنڪشن کي گھٽ ڪرڻ لاءِ، اسان \( \mathbf{b} \) جي حوالي سان S جو جزوي مشتق وٺون ٿا ۽ ان کي صفر تي سيٽ ڪريون ٿا. هي گھڻن لڪير واري رجعت لاءِ عام مساوات پيدا ڪري ٿو:
\[ \ميٿ بي ايف{ايڪس}^ٽي \ميٿ بي ايف{ايڪس بي} = \ميٿ بي ايف{ايڪس}^ٽي \ميٿ بي ايف{وائي} \]
مٿي ڏنل مساواتن جي نظام کي حل ڪندي، اسان پيرا ميٽر \( \mathbf{b} \) جو اندازو حاصل ڪري سگهون ٿا:
\[ \ميٿ بي ايف{بي} = (\ميٿ بي ايف{ايڪس}^ٽي \ميٿ بي ايف{ايڪس})^-1} \ميٿ بي ايف{ايڪس}^ٽي \ميٿ بي ايف{وائي} \]
فائدا ۽ حدون
گھٽ ۾ گھٽ چورس طريقو ڪيترائي فائدا رکي ٿو. اهو استعمال ڪرڻ لاءِ هڪ تمام ڪارآمد ۽ سادو طريقو آهي. اهو هڪ منفرد حل پيش ڪري ٿو جيڪڏهن \( \mathbf{X}^T \mathbf{X} \) ناقابلِ واپسي آهي، ان کي ڪيترن ئي عملي ايپليڪيشنن لاءِ قابل اعتماد بڻائي ٿو.
جڏهن ته، گهٽ ۾ گهٽ چورس طريقن جون به حدون آهن. اهو ٻاهرين فرقن لاءِ تمام گهڻو حساس آهي ڇاڪاڻ ته چورس غلطي ننڍن فرقن کان وڌيڪ وڏن فرقن تي زور ڏئي ٿي. وڌيڪ، ڪلاسيڪل مفروضو ته غلطين ۾ صفر اوسط ۽ مسلسل فرق سان هڪ عام تقسيم آهي، سٺي نتيجن لاءِ ان کي پورو ڪرڻ گهرجي.
عملي استعمال
گھٽ ۾ گھٽ اسڪوائر طريقو اڪثر ڪري ڊيٽا رجحان جي تجزيي، اڳڪٿي، ۽ مشين لرننگ ۾ اڳڪٿي ڪندڙ ماڊل ٺاهڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. مالي صنعت ۾، گھٽ ۾ گھٽ اسڪوائر طريقو اسٽاڪ جي قيمتن يا مارڪيٽ جي ڪارڪردگي جي اڳڪٿي ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. طب ۾، اهو دوا جي مقدار ۽ مريض جي جواب جي وچ ۾ تعلق کي ماڊل ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. سماجي سائنس ۾، اهو تعليم ۽ آمدني جهڙن متغيرن جي وچ ۾ تعلق کي سمجهڻ ۾ مدد ڪري ٿو.
نتيجو
گھٽ ۾ گھٽ چورس طريقو شماريات ۽ ڊيٽا جي تجزيي ۾ بنيادي طريقن مان هڪ آهي. جڏهن ته تصور ۾ سادو آهي، هي طريقو ماڊلنگ ۽ متغيرن جي وچ ۾ لاڳاپن کي سمجهڻ ۾ اهم طاقت پيش ڪري ٿو. مختلف شعبن ۾ وسيع ايپليڪيشنن سان، هن طريقي جي هڪ مضبوط سمجھ پيشه ور ۽ محقق لاءِ هڪجهڙائي سان قيمتي آهي. اڳتي وڌندي، وڏي ڊيٽا جي دور ۾ ڊيٽا جي وڌندڙ مقدار سان، گھٽ ۾ گھٽ چورس وانگر ڪلاسيڪل طريقن جي موافقت ۽ درخواست صرف وڌندڙ طور تي لاڳاپيل ٿيندي.
