Статья о законе всемирного тяготения Ньютона
В рамках изучения законов Ньютона было установлено, что любой объект, изначально находящийся в состоянии покоя, начинает двигаться, или любой объект, изначально движущийся, переходит в состояние покоя, если существует «нечто», которое двигает или останавливает этот объект. Это «нечто» называется «силой». Почему плод падает или движется к поверхности земли после того, как его отпустили со стебля? Закон Ньютона гласит, что если плод движется, то на него должна действовать сила. Сила, которая заставляет плод или любой другой объект падать к поверхности земли, называется силой тяжести.
Проблема падающих объектов, связанная с силой гравитации, которую вы сейчас изучаете, была задумана и исследована Исааком Ньютоном, британским ученым. Ньютон считал, что эта проблема существовала еще со времен Древней Греции. Греки исследовали две основные проблемы задолго до рождения Ньютона. Первый вопрос всегда задавался: почему предметы падают на поверхность Земли и как движутся планеты, включая Солнце и Луну? Греки того времени рассматривали падение объектов и движение планет как две разные вещи. Таким образом, это продолжалось до времен Ньютона. Поэтому работы Ньютона основывались на трудах его предшественников. Отличие Ньютона от его предшественников заключается в том, что Ньютон понимал сложность задачи о том, почему падение объектов и движение планет обусловлены одним и тем же фактором и подчиняются одному и тому же закону. Другими словами, Ньютон утверждал, что сила, заставляющая объекты падать на поверхность Земли, — это та же сила, которая заставляет Луну вращаться вокруг Земли.
Зависимость силы гравитации от расстояния и массы.
При формулировании закона гравитации Ньютон сравнил ускорение падающих фруктов вблизи поверхности Земли с центростремительным ускорением Луны при её вращении вокруг Земли. По мнению Ньютона, ускорение падающих фруктов и центростремительное ускорение Луны при её вращении вокруг Земли вызваны одной и той же силой — силой гравитации Земли. Ньютон утверждал, что ускорение Луны при её вращении вокруг Земли пропорционально 1/r², где r — расстояние между центром Земли и центром Луны = 3.84 × 10⁸ м. Ускорение падающих фруктов пропорционально 1/R² , где R — расстояние между центром Земли и центром фрукта. Фрукт находится вблизи поверхности Земли, поэтому R = R F , где R E — радиус Земли = 6.37 × 10⁶ м. Таким образом, сравнение ускорения Луны (a M ) и ускорения фруктов (g) выглядит следующим образом:
Итак, центростремительное ускорение Луны:
a M = (2.75 x 10⁻⁴ ) (г) = (2.75 x 10⁻⁴ ) (9.8 м/с² ) = 2.7 x 10⁻³ м/ с²
Ньютон также рассчитал центростремительное ускорение Луны по-другому. Известно, что период обращения Луны, или время в месяц, необходимое для совершения одного оборота, равен 27.3 дням = 2.36 × 10⁶ секунд . Длина пути, пройденного Луной, равна длине окружности лунной орбиты = 2 (3.14) (r), где r = расстояние между центром Луны и центром Земли. Центростремительное ускорение Луны:
Полученное в этом расчете центростремительное ускорение Луны практически совпадает с результатами предыдущих вычислений. Второй закон Ньютона гласит, что сила пропорциональна ускорению (F = ma). Приведенные выше расчеты показывают, что ускорение пропорционально 1/r² или обратно пропорционально квадрату расстояния (r² ) . Таким образом, можно заключить, что гравитационная сила пропорциональна 1/r² или обратно пропорциональна квадрату расстояния. Математически:
Помимо исследования взаимосвязи между гравитационными силами и расстоянием между объектами, Ньютон также исследовал взаимосвязь между гравитационными силами и массой объектов. Третий закон Ньютона гласит, что если существует сила действия, то существует и сила противодействия. Сила действия и сила противодействия имеют одинаковую величину и противоположное направление (F - действие = -F - противодействие, отрицательный знак указывает на противоположное направление силы). Если гравитационная сила Земли притягивает плод, то гравитационная сила плода также притягивает Землю. Гравитационная сила Земли действует на плод, тогда как гравитационная сила плода действует на Землю. Аналогично, гравитационная сила между Землей и Луной. Гравитационная сила Земли и гравитационная сила плода или гравитационная сила с гравитационной силой Луны — это сила противодействия. Поскольку сила пропорциональна массе (F = ma) и поскольку сила действия и сила противодействия имеют одинаковую величину, гравитационная сила между двумя объектами должна быть пропорциональна массе этих двух объектов. Математически это выражается так:
Закон всемирного тяготения Ньютона
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что все объекты во Вселенной притягиваются друг к другу, причем сила притяжения между объектами пропорциональна их массе и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если два объекта с массами m₁ и m₂ разделены расстоянием r, то величина гравитационной силы между ними равна:
G = гравитационная постоянная (6.673 х 10⁻¹¹ Нм² /кг² ) . G измеряется экспериментально.
F12 — это сила гравитации, приложенная к м.1 в м2 в то время как Ф21 — это сила гравитации, приложенная к м.2 в м1, F12 работает в m2 и тянет м2 в направлении м1, в то время как F21 работает в m1 и тянет м1 в направлении м2, F21 и F12 имеют одинаковую величину, но противоположное направление. Следовательно, F21 и F12 являются парами действия-противодействия. r — расстояние между центрами m.1 и центр m2Центр м1 расположен в центре объекта, как и центр m.2Если r указано в км, то сначала оно переводится в метры (единицы международной системы мер).
Пример задачи 1 (гравитационная сила между двумя частицами)
Рассчитайте силу гравитации между двумя студентами, каждый массой 30 кг и 40 кг, на расстоянии 1 метра.
Решение
Величина гравитационной силы настолько мала, что два объекта не притягиваются друг к другу.
Пример задачи 2 (гравитационная сила между двумя частицами)
Рассчитайте суммарную силу гравитации, действующую на м.2 из-за силы гравитации, приложенной к m1 в точке m2 и сила гравитации, приложенная к м3 в м2Расстояние между центрами м1 И м2 составляет 2 метра, а расстояние между центрами — м.2 И м3 составляет 1 метр.
Решение:
Сила тяжести точки m1 в точке m2 :
Сила тяжести точки m3 в точке m2 :
Суммарная сила гравитации, действующая на m² :
Суммарная сила гравитации Fg = (6.673 – 1.668) x 10⁻¹¹ Н = 5.005 x 10⁻¹¹ Н. На рисунке ниже стрелка F32 длиннее стрелки F12 . Следовательно, направление суммарной силы гравитации — m3.
Пример задачи 3 (суммарная сила тяжести равна нулю):
Два шара А и В, каждый массой m и 5m. Оба шара имеют одинаковый диаметр. Если сила гравитации в точке между шаром А и шаром В равна нулю, то расстояние от этой точки до поверхности шара А равно…
Решение:
Диаметр шаров А и В равен 1 метру, следовательно, радиус шаров А и В составляет 0.5 метра. Расстояние между центрами шаров А и В равно 6 метрам.
Мы помещаем пробную частицу массой m в точку, расположенную между шаром А и шаром В.
F A = сила гравитации, действующая со стороны шара А на пробную частицу (направление силы тяжести в сторону шара А).
F B = сила гравитации, действующая со стороны шара B на пробную частицу (направление силы тяжести в сторону шара B).
Так как гравитационная сила, действующая на пробную частицу, равна нулю, тогда F A = F B (F A и F B имеют противоположные направления).
Используйте формулу для вычисления квадратного уравнения, чтобы определить значение x.
Таким образом, x = 4.88 метра.
4.88 м – 0.5 м = 4.38 м. Гравитационная сила равна нулю на расстоянии 4.38 метра от поверхности шара А. Каково расстояние от поверхности шара В?
Измерение универсальной гравитационной постоянной (G)
Чтобы узнать свою массу тела, достаточно встать на весы и посмотреть показания. Измерить массу тела легко. А как измерить массу Земли? Не существует гигантских весов, используемых для измерения массы Земли. Без весов мы не смогли бы измерить массу Земли, потому что Земля постоянно движется. Масса Земли определяется путем расчетов после экспериментального измерения всемирного тяготения (G).
Вес
Вес объекта — это суммарная гравитационная сила, действующая на него из-за гравитационной силы, приложенной всеми объектами во Вселенной к этому объекту. Если объект находится над поверхностью Земли или на поверхности Земли, то мы пренебрегаем гравитационной силой, переносимой другими объектами во Вселенной. Рассматривайте вес объекта как гравитационную силу Земли, действующую на этот объект.
w = вес объекта, m E = масса Земли, m = масса объекта, R E = радиус Земли.
Если объект находится на высоте h над поверхностью Земли (объекты располагаются на определенной высоте, например, самолет) или объекты расположены на расстоянии r над поверхностью Земли, где r = R E + h,
Тогда сила гравитации, действующая на объект, или вес объекта, равна:
Это уравнение показывает, что вес объекта уменьшается пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Следовательно, чем дальше от поверхности Земли, тем меньше вес объекта.
Ускорение свободного падения
Исходя из второго закона Ньютона, мы знаем, что вес объекта — это сила, которая заставляет объект испытывать ускорение свободного падения (гравитационное ускорение):
w = мг
Объединим оба уравнения: w = F g и w = mg :
Это уравнение описывает гравитационное ускорение, испытываемое объектом на определенной высоте над поверхностью Земли. С помощью этого уравнения известно, что ускорение свободного падения уменьшается с увеличением высоты и не зависит от массы свободно падающих объектов.
Ускорение свободного падения объектов, расположенных над поверхностью Земли или над уровнем земли:
Массу Земли можно рассчитать, изменив приведенное выше уравнение следующим образом:
Рассчитайте массу Земли, используя это уравнение!
Проблемы и решения
1. Два объекта m1 и m2 , каждый массой 6 кг и 9 кг, разделены расстоянием 5 см. Между ними помещен объект m3 массой 1 кг. Если сила тяжести, действующая на m3 , равна 0, то расстояние от m3 до m1 равно…
Гравитационная сила равна 0, если F 13 = F 23.
а = -1, б = -20, в = 50
Используйте формулу квадратного уравнения:
Результаты не могут быть отрицательными. Следовательно, x = r 13 = расстояние m 3 и m 1 = 2.25 см.
2. Два объекта А и В находятся на расстоянии 60 см друг от друга. Масса объекта А равна 24 кг, а масса объекта В равна 10 кг. Где находится точка, в которой сильное гравитационное поле равно нулю?
Гравитационное поле равно 0, если g A = g B.
a = 7
б = -1440
с = 43200
Используйте формулу квадратного уравнения:
x = r A = 169.25 см или
x = r A = 36.46 см
