Сохранение механической энергии – проблемы и решения.
1. Блок массой m кг отпускается с вершины гладкой наклонной плоскости , как показано на рисунке ниже. Сравнение гравитационной потенциальной энергии и кинетической энергии блока в точке M показывает…
Решение
Гравитационная потенциальная энергия в точке М:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
Кинетическая энергия в точке М:
КЭ М = ЕР = мг (2/3 ч) = 2/3 мгч
ЭП М : ЭК М
1/3 мг/ч : 2/3 мг/ч
1/3 : 2/3
1: 2
2. Лыжник скользит с высоты А, как показано на рисунке ниже. Если начальная скорость равна 0, а ускорение свободного падения равно 10 м/ с² , то какова скорость лыжника в точке В?
Известно:
Начальная скорость (v o ) = 0
Ускорение свободного падения (g) = 10 м/ с²
Изменение высоты = 50 метров – 10 метров = 40 метров
Требуется: скорость лыжника в точке B.
решение:
Принцип сохранения механической энергии гласит, что начальная механическая энергия равна конечной механической энергии.
Начальная механическая энергия равна потенциальной энергии в точке B (высота = 40 метров).
Конечная механическая энергия равна кинетической энергии в точке B.
Конечная механическая энергия = Начальная механическая энергия
½ mv t 2 = mgh
½ v t 2 = gh
½ v t 2 = (10)(50-10)
½ v t 2 = (10)(40)
½ v t 2 = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 м/с
3. Объект начинает скользить из точки А без начальной скорости. Если сила трения отсутствует, какова скорость объекта в самой нижней точке?
Известно:
Масса объекта = m
Начальная скорость (v o ) = 0
Высота (h) = 20 метров
Ускорение свободного падения (g) = 10 м/ с²
Требуется: конечная скорость (v t )
решение:
Начальная механическая энергия (ME 1 ) = Гравитационная потенциальная энергия в точке А (PE A ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 м
Конечная механическая энергия (МЭ² ) = кинетическая энергия (КЭ) = ½ mv²t²
Скорость объекта в самой нижней точке (v t ) ?
Примените принцип сохранения механической энергии, который гласит, что начальная механическая энергия равна конечной механической энергии.
EM1 = EM2
200 м = ½ mv t 2
200 = ½ v t 2
400 = v t 2
v t = 20 м/с
4. Шар массой 2 кг свободно падает из точки А, как показано на рисунке ниже (g = 10 м/ с² ). После достижения точки В его кинетическая энергия равна 2-кратному значению потенциальной энергии. Какова высота точки В над поверхностью Земли?
Известно:
Масса шара (m) = 2 кг
Ускорение свободного падения (g) = 10 м/ с²
Высота точки А (h A ) = 90 метров
Требуется: высота точки B (h B )
решение:
При достижении точки B кинетическая энергия шара в точке B равна 2-кратному значению гравитационной потенциальной энергии в точке B.
ЭК = 2 ЭП
½ mv 2 = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v 2 = 2(2)(10) h B
v 2 = 40 ч B
Скорость (v) мяча в момент его прибытия в точку B после свободного падения из точки A:
v 2 = 2 gh = 2(10)(90–h B ) = 20(90–h B )
Подставьте v 2 в приведенное выше уравнение вместо v 2 в это уравнение.
v 2 = 40 ч B
20(90–ч B ) = 40 ч B
1800–20 ч B = 40 ч B
1800 = 40 ч B + 20 ч B
1800 = 60 ч B
h B = 1800 / 60
h B = 30 метров
5. Шар массой 1 кг отпускается и соскальзывает из точки А в точку С, как показано на рисунке ниже. Если ускорение свободного падения равно 10 м/ с² , какова кинетическая энергия шара в момент его прибытия в точку С?
Известно:
Масса шара (m) = 1 кг
Ускорение свободного падения (g) = 10 м/ с²
Изменение высоты (h) = 0.75 м
Начальная потенциальная энергия (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 Джоулей
Начальная кинетическая энергия (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Конечная гравитационная потенциальная энергия (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Требуется: кинетическая энергия шара в точке С.
решение:
Начальная механическая энергия (ME o ) = Конечная механическая энергия (ME t )
Начальная гравитационная потенциальная энергия (PE₀ ) + начальная кинетическая энергия (KE₀ ) = Конечная гравитационная потенциальная энергия (PE₀ ) + конечная кинетическая энергия ( KE₀ )
7.5 Джоуля + 0 = 0 + KE t
7.5 Джоуля = KE t
Кинетическая энергия шара в точке С = 7.5 Джоулей.
6. Из точки А отпускается шар массой 2 кг, как показано на рисунке ниже. Плоскость кривой гладкая. Если ускорение свободного падения равно 10 м/ с² , какова кинетическая энергия шара в точке В?
Известно:
Масса шара (m) = 2 кг
Ускорение свободного падения (g) = 10 м/ с²
Изменение высоты (h) = 120 см = 1.2 метра
Начальная гравитационная потенциальная энергия (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 Джоуля
Начальная кинетическая энергия (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Конечная гравитационная потенциальная энергия (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Требуется: кинетическая энергия шара в точке B.
решение:
Механическая энергия в точке А (начальная механическая энергия) = механическая энергия в точке В (конечная механическая энергия)
Начальная механическая энергия (ME o ) = конечная механическая энергия (ME t )
Начальная гравитационная потенциальная энергия (PE₀ ) + начальная кинетическая энергия (KE₀ ) = конечная гравитационная потенциальная энергия (PE₀ ) + конечная кинетическая энергия ( KE₀ )
24 Джоуля + 0 = 0 + KE t
24 Джоуля = KE t
Кинетическая энергия шара в точке С равна 24 Джоулям.
7. Объект обладает фиксированной механической энергией, большей кинетической энергией и меньшей гравитационной потенциальной энергией. Объект…
А. В состоянии покоя
Б. двигаться вверх
C. двигаться вниз
D. Ускорение вверх
решение:
Кинетическая энергия увеличивается, то есть скорость объекта возрастает, а гравитационная потенциальная энергия уменьшается, то есть высота объекта над поверхностью земли уменьшается. Это происходит, когда объект перемещается с определенной высоты на землю.
Взаимосвязь между скоростью и кинетической энергией демонстрируется формулой кинетической энергии:
KE = ½ mv²
Описание формулы: KE = кинетическая энергия, m = масса, v = скорость
Связь между высотой и гравитационной потенциальной энергией описывается формулой гравитационной потенциальной энергии:
PE = мгч
Описание формулы: PE = гравитационная потенциальная энергия, m = масса, g = ускорение свободного падения, h = высота
Правильный ответ - С.
- Что такое механическая энергия?
- Ответ: Механическая энергия — это сумма кинетической и потенциальной энергии объекта. Кинетическая энергия описывает движение объекта, а потенциальная энергия — его положение или конфигурацию.
- Что гласит принцип сохранения механической энергии?
- Ответ: Принцип гласит, что в изолированной системе, на которую действуют только консервативные силы, полная механическая энергия остается постоянной. Это означает, что сумма кинетической и потенциальной энергии не изменяется со временем.
- Как консервативные и неконсервативные силы влияют на закон сохранения механической энергии?
- Ответ: Консервативные силы, такие как гравитация, не изменяют полную механическую энергию системы. Они могут преобразовывать потенциальную энергию в кинетическую или наоборот, но сумма остается постоянной. Неконсервативные силы, такие как трение, могут рассеивать механическую энергию, обычно преобразуя ее в тепловую энергию.
- Почему в реальных условиях, связанных с трением, механическая энергия не сохраняется?
- Ответ: Трение — это неконсервативная сила. Когда объекты движутся навстречу друг другу, трение преобразует часть механической энергии системы в тепловую энергию, что приводит к уменьшению общей механической энергии системы.
- Как демонстрируется закон сохранения механической энергии в качающемся маятнике?
- Ответ: В отсутствие сопротивления воздуха (неконсервативной силы) при движении маятника вверх его кинетическая энергия преобразуется в гравитационную потенциальную энергию. В верхней точке колебания он обладает максимальной потенциальной энергией и минимальной кинетической энергией. При движении вниз эта потенциальная энергия снова преобразуется в кинетическую. Полная механическая энергия остается постоянной, несмотря на то, что формы энергии меняются местами.
- Почему отскакивающий мяч в конце концов останавливается, даже при отсутствии внешних воздействий?
- Ответ: Когда мяч отскакивает, не вся его кинетическая энергия преобразуется обратно в потенциальную. Часть энергии теряется, часто в виде звука или деформации мяча, и особенно из-за внутреннего трения в материале мяча. Это формы неконсервативных сил, которые уменьшают механическую энергию мяча с каждым отскоком, пока он не остановится.
- Где на американских горках наблюдается самая высокая и самая низкая механическая энергия?
- Ответ: Полная механическая энергия американских горок остается постоянной, если пренебречь сопротивлением воздуха и трением. Однако в самой верхней точке потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия минимальна. При спуске потенциальная энергия преобразуется в кинетическую, поэтому в самой нижней точке кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия минимальна.
- Каким образом закон сохранения механической энергии помогает понять орбиты планет?
- Ответ: Планеты, вращающиеся вокруг звезды, подобной Солнцу, обладают как кинетической энергией (обусловленной их движением), так и гравитационной потенциальной энергией (обусловленной их положением относительно Солнца). По мере приближения планеты к Солнцу её скорость увеличивается, при этом её кинетическая энергия возрастает, а гравитационная потенциальная энергия уменьшается, и наоборот. Полная механическая энергия планеты остаётся постоянной во времени, если предположить, что другие силы (например, со стороны других планет) пренебрежимо малы.
- Почему спутник, находящийся на стабильной орбите, не падает на Землю?
- Ответ: Хотя спутник действительно притягивается к Земле силой гравитации, его кинетическая энергия, направленная вперед, поддерживает его движение по орбите. Баланс этой кинетической энергии и потенциальной энергии гравитации обеспечивает спутнику стабильную орбиту с постоянной механической энергией.
- Если лыжница начинает движение из состояния покоя на вершине холма без трения, а затем спускается вниз, то как изменится её скорость внизу по сравнению со скоростью, если бы она начала движение с середины холма?
- Ответ: На склоне без трения полная механическая энергия лыжницы сохраняется. Если она стартует с самой вершины, у нее будет больше потенциальной энергии в начале спуска, чем если она стартует с середины склона. Эта потенциальная энергия полностью преобразуется в кинетическую энергию по мере спуска. Таким образом, она будет быстрее внизу, если стартует с вершины, чем если она стартует с середины склона.
