Материалы уравнения непрерывности
Попробуйте медленно открыть водопроводный кран, наблюдая за потоком воды. Как только кран перестанет вращаться, частично перекройте его рукой. Теперь сравните, какой поток воды больше: частично перекрытый или неперекрытый? Если у вас есть шланг, который обычно используется для полива цветов, дайте воде течь через него. Частично перекройте шланг рукой или пальцем. Чем больше часть шланга перекрыта, тем быстрее будет течь вода. И наоборот, если шланг не перекрыт, вода будет течь медленнее. Почему так происходит? Чтобы понять это, изучите уравнение непрерывности.
Линии тока и трубки для отвода потока
Для начала давайте разберемся с понятиями линий тока и трубок потока. Это понятие важно, поскольку оно поможет вам понять уравнение неразрывности.
Обтекаемая линия
Посмотрите на изображение ниже, синяя линия — это линия обтекаемости.
При установившемся потоке скорость каждой частицы жидкости в точке, скажем, в точке А, остается постоянной. При прохождении точки В скорость частиц жидкости может изменяться. Однако, достигнув точки В, следующие за ней частицы жидкости продолжают двигаться с той же скоростью, что и предшествовавшие им частицы. То же самое происходит при достижении точки С и так далее. Линия тока — это кривая, соединяющая точки А, В и С.
Трубка потока
По сути, мы можем провести каждую линию тока через каждую точку потока жидкости. Если рассматривать стационарный поток жидкости, то ряд линий тока, проходящих под определенным углом по воображаемой поверхности (воображаемой поверхности), образуют трубку потока. Частицы жидкости не пересекаются друг с другом, а всегда параллельны, и трубка потока будет напоминать трубу, которая всегда имеет одинаковую форму. Жидкость, входящая в трубку с одного конца, выходит из нее с другого конца.
Дебет
Расход обозначает объем жидкости, протекающей через определенное поперечное сечение за определенный промежуток времени. Математически это можно выразить следующим образом:
Для лучшего понимания давайте рассмотрим пример. Предположим, жидкость течет по трубе. Трубы обычно имеют цилиндрическую форму и определенное поперечное сечение. Длина трубы также невелика.
Когда жидкость протекает по трубе на расстояние L, то объем жидкости в трубе равен V = AL (V = объем жидкости, A = площадь поперечного сечения, L = длина трубы). Поскольку за время течения жидкости по трубе вдоль L проходит определенный интервал времени, можно сказать, что величина расхода жидкости составляет:
Поскольку v = s/t = L/t —> L = vt, приведенное выше уравнение изменяется следующим образом:
Таким образом, когда жидкость течет по трубе с определенной площадью поперечного сечения и длиной в течение определенного интервала времени, величина расхода жидкости (Q) равна площади поперечного сечения (A), умноженной на скорость потока жидкости (v).
Уравнение непрерывности
Рассмотрим течение жидкости в трубе с различными диаметрами, как показано на рисунке ниже.
На этом изображении показано течение жидкости слева направо (жидкость течет из трубы большого диаметра в трубу малого диаметра). Пунктирные линии — это линии тока.
Подпись к изображению: A1 = площадь поперечного сечения трубы большого диаметра, A2 = площадь поперечного сечения трубы малого диаметра, v1 = скорость потока жидкости в трубе большого диаметра, v2 = скорость потока жидкости в трубе малого диаметра, L = расстояние, пройденное жидкостью.
Введение в гидродинамику объясняло, что в гидродинамике рассматривается течение несжимаемых, невязких, нетурбулентных и стационарных жидкостей. При стационарном течении скорость частиц жидкости в точке равна скорости других частиц жидкости, проходящих через эту точку. Потоки жидкости также не пересекаются (линии тока параллельны). Следовательно, масса жидкости, входящей в один конец трубы, должна быть равна массе жидкости, выходящей из другого конца. Если жидкость с определенной массой входит в трубу большого диаметра, то жидкость выйдет из трубы малого диаметра с постоянной массой.
Теперь посмотрите на изображение трубы выше. Обратите внимание на часть трубы с большим диаметром и на часть трубы с малым диаметром.
В течение определенного промежутка времени через участок трубы большого диаметра (А) протекает определенное количество жидкости.1) насколько это возможно для L1 (L1 = V1 т). Объем протекающей жидкости равен V.1 = A1 L1 = A1 v1 t. В течение того же промежутка времени через участок трубы меньшего диаметра (A) протекает другое количество жидкости.2) насколько это возможно для L2 (L2 = V2 т). Объем протекающей жидкости равен V.2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Уравнение непрерывности для несжимаемых жидкостей (несжимаемый)
Для начала рассмотрим случай несжимаемой жидкости. В несжимаемой жидкости плотность, или масса, всегда одинакова в каждой точке, через которую она проходит. Масса жидкости, протекающей в трубе с площадью поперечного сечения A1 ( больший диаметр трубы) за определенный интервал времени, составляет:
Аналогично, масса жидкости, протекающей в трубе с площадью поперечного сечения A² ( малый диаметр трубы) за определенный интервал времени, составляет:
Учитывая, что при стационарном потоке масса входящей жидкости равна массе выходящей жидкости, тогда:
м 1 = м 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (плотность жидкости и временной интервал одинаковы, поэтому они взаимно сокращаются)
A 1 против 1 = A 2 против 2
Таким образом, в несжимаемых жидкостях применяется уравнение непрерывности:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Уравнение 1
Информация :
A 1 = площадь поперечного сечения 1, A 2 = площадь поперечного сечения 2, v 1 = скорость потока жидкости в поперечном сечении 1, v 2 = скорость потока жидкости в поперечном сечении 2, A v = объемный расход V/t, или расход
Уравнение 1 показывает, что объемный расход, также известный как расход жидкости, всегда одинаков в каждой точке вдоль трубы или трубопровода. По мере уменьшения поперечного сечения трубы расход жидкости увеличивается; и наоборот, по мере увеличения поперечного сечения трубы расход жидкости уменьшается.
Когда мы частично закрываем кран, поток воды становится быстрее, чем когда кран частично закрыт. Это происходит потому, что площадь поперечного сечения крана уменьшается, когда он частично закрыт, что увеличивает скорость потока воды (жидкость течет быстрее). То же самое верно и для шлангов. Однако важно отметить, что расход или объемный расход остается одинаковым во всех точках потока воды, независимо от того, частично закрыт кран или нет. Таким образом, меняется только скорость потока жидкости.
Итак, что же происходит с течением воды в реке? Более глубокие участки реки имеют большее поперечное сечение, чем более мелкие, поэтому скорость течения воды в более глубоких участках ниже, чем в более мелких. Если вы видите очень спокойное течение реки, это означает, что река глубокая. Но если река внезапно становится быстрой, этот участок определенно мелкий. Однако скорость и объемный расход воды всегда одинаковы, как в глубоких, так и в спокойных участках реки.
Уравнение непрерывности для сжимаемых жидкостей (сжимающийся)
В случае сжимаемых жидкостей плотность жидкости не всегда одинакова. Другими словами, плотность жидкости изменяется при сжатии. В то время как в несжимаемых жидкостях плотность жидкости исключается из уравнения , в данном случае плотность жидкости всё ещё учитывается. Обратившись к ранее выведенному уравнению, выведем уравнение для сжимаемых жидкостей.
Учитывая, что при стационарном потоке масса входящей жидкости равна массе выходящей жидкости, тогда:
м 1 = м 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Интервал времени протекания жидкости одинаков, поэтому его можно исключить. Уравнение изменяется следующим образом:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Уравнение 2
Это уравнение для сжимаемой жидкости. Единственное различие заключается в плотности жидкости. При сжатии жидкость изменяет свою плотность. И наоборот, когда жидкость несжимаема, её плотность остаётся постоянной и может быть компенсирована.
Пример вопроса 1:
Вода течет по трубе диаметром 10 см со скоростью 2 м/с. Каков расход воды?
Обсуждение
Известно, что:
Диаметр трубы = 10 см (это внутренний диаметр трубы)
Радиус трубы (r) = 5 см = 0,05 м
скорость воды = 2 м/с
Вопрос: Дебет
Джаваб:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 м/с)
Q = (3,14)(0,05 м) ² (2 м/с)
Q = (3,14)(0,0025 м² ) (2 м/с)
Q = 0,0157 м³ / с
Пример вопроса 2:
Водопроводная труба диаметром 20 см соединена с другой трубой диаметром 10 см. Если расход воды в трубе диаметром 20 см равен 4 м/с, то каков расход воды в трубе диаметром 10 см?
Обсуждение
Известно, что:
Диаметр 1 = 20 см (r 1 = 10 см = 0,1 м)
v 1 = 4 м/с
Диаметр 2 = 10 см (r 2 = 5 см = 0,05 м)
Задан вопрос: версия 1
Джаваб:
Q 1 = Q 2
A 1 против 1 = A 2 против 2
( π р 12 ) (4 м/с) знак равно (π р 22 ) (v 2 )
(0,1 м) ² (4 м/с) = (0,05 м) ² ( v² )
(0,01 м² ) (4 м/с) = (0,0025 м² ) ( v² )
(0,04 м³ / с) = (0,0025 м² ) ( v² )
v 2 = 16 м/с
