Материалы по принципу и уравнению Бернулли
Когда мы едем на мотоцикле довольно быстро, одежда на спине вздувается. Если вы еще не умеете ездить на мотоцикле, понаблюдайте за своими родителями или друзьями, которые ездят на мотоциклах. У них на спине обычно тоже вздувается одежда, когда мотоцикл едет быстро. Иногда, когда дует сильный ветер, дверь дома может закрыться сама по себе. Даже если ветер дует снаружи, дверь находится внутри дома.
Это можно объяснить с помощью принципа Бернулли. Даниэль Бернулли (1700–1782) открыл принцип, который можно использовать для объяснения некоторых из вышеописанных явлений.
Принцип Бернулли
Принцип Бернулли гласит, что там, где скорость потока жидкости высока, давление жидкости низкое. И наоборот, если скорость потока жидкости низка, давление становится высоким. Когда мотоцикл движется быстро, скорость воздуха перед и по бокам вашего тела высока. Следовательно, давление воздуха становится низким. Задняя часть вашего тела блокируется передней частью, поэтому скорость воздуха позади вашего тела не увеличивается (непосредственно позади вашего тела). В результате давление воздуха позади вашего тела становится выше. Из-за разницы в давлении воздуха, где давление воздуха непосредственно позади вашего тела выше, воздух отталкивает вашу рубашку назад, создавая впечатление, что она вздулась сзади.
А что насчет двери, которая закрывается сама по себе, когда снаружи дует сильный ветер? Воздух снаружи движется быстрее, чем воздух внутри. В результате давление воздуха снаружи ниже, чем давление воздуха внутри. Из-за этой разницы давлений, там, где давление воздуха внутри выше, дверь выталкивается наружу. Другими словами, дверь перемещается из места с более высоким давлением воздуха в место с более низким давлением воздуха.
Уравнение Бернулли
Ранее мы изучали принцип Бернулли. Бернулли также разработал этот принцип количественно. Для вывода уравнения Бернулли мы предполагаем стационарное ламинарное течение жидкости, несжимаемость и низкую вязкость, которыми можно пренебречь.
В ходе обсуждения уравнения непрерывности мы узнали, что скорость потока жидкости также может изменяться в зависимости от площади поперечного сечения трубки. Исходя из принципа Бернулли, объясненного выше, давление жидкости также может изменяться в зависимости от скорости потока. Давление жидкости также может изменяться в зависимости от высоты потока. Взаимосвязь между давлением, скоростью потока и высотой потока может быть получена из уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли очень важно, поскольку его можно использовать для анализа полета самолетов, гидроэлектростанций, трубопроводных систем и т. д. Чтобы уравнение Бернулли, которое мы выведем, было применимо в общем случае, мы предположим, что жидкость течет через трубу с неравными площадями поперечного сечения и разной высотой (см. рисунок ниже). Для вывода уравнения Бернулли мы применим теорему о работе и энергии к жидкости в области трубы. Затем мы рассчитаем количество жидкости и работу, затраченную на ее перемещение.
Непрозрачный цвет трубки на изображении указывает на поток жидкости, а белый цвет — на отсутствие потока.
Жидкость в поперечном сечении 1 (левая сторона) протекает на расстояние L1 и заставляет жидкость в поперечном сечении 2 (правая сторона) перемещаться на расстояние L2 . Поскольку площадь поперечного сечения 2 на правой стороне меньше, скорость потока жидкости на правой стороне трубки больше (вспомните уравнение неразрывности). Это вызывает разницу давлений между поперечным сечением 2 (правая сторона трубки) и поперечным сечением 1 (левая сторона трубки) — вспомните принцип Бернулли. Жидкость на левой стороне поперечного сечения 1 оказывает давление P1 на жидкость на правой стороне и совершает работу:
Тогда уравнение W 1 можно записать следующим образом:
W 1 = p 1 A 1 L 1
В поперечном сечении 2 (правая сторона трубки потока) работа, совершаемая над жидкостью, составляет:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Отрицательный знак указывает на то, что приложенная сила направлена противоположно направлению движения. Таким образом, жидкость совершает работу вправо от сечения 2. Кроме того, сила тяжести также совершает работу над жидкостью. В приведенном выше случае определенная масса жидкости перемещается из сечения 1 на расстояние L1 в сечение 2 на расстояние L2 , где объем жидкости в сечении 1 (A1L1 ) равен объему жидкости в сечении 2 (A2L2 ) . Работа, совершаемая силой тяжести , равна :
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Отрицательный знак обусловлен тем, что жидкость течет вверх, в направлении, противоположном силе тяжести. Таким образом, полная работа, совершаемая над жидкостью, как показано на рисунке выше, составляет:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Теорема о работе и энергии гласит, что полная работа, совершаемая над системой, равна изменению её кинетической энергии. Таким образом, мы можем заменить работу (W) изменением кинетической энергии (EK 2 ‐ EK 1 ).
Приведенное выше уравнение можно переписать следующим образом:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Масса жидкости, протекающей на расстояние L1 в поперечном сечении A1, равна массе жидкости , протекающей на расстояние L2 ( сечение A2 ) . Масса жидкости, скажем , m, имеет объем A1L1 и A2L2 , где A1L1 = A2L2 ( L2 длиннее L1 ).
Теперь подставим, или заменим m в приведенном выше уравнении на m = ρ AL:
Это уравнение Бернулли. Мы вывели уравнение Бернулли на основе принципа работы и энергии, поэтому оно является одной из форм закона сохранения энергии.
Информация :
P = Давление
ρ = Плотность жидкости
v = Скорость потока жидкости
g = Ускорение свободного падения
h = Высота трубки/трубы подачи от поверхности земли
Левая и правая части приведенного выше уравнения Бернулли могут относиться к любым двум точкам вдоль трубки потока, поэтому мы можем переписать приведенное выше уравнение следующим образом:
Это уравнение утверждает, что общая сумма величин в уравнении имеет одинаковое значение по всей длине трубки, по которой протекает поток.
Теперь давайте рассмотрим уравнение Бернулли на примере нескольких случаев.
Уравнение Бернулли для покоящихся жидкостей
Частным случаем уравнения Бернулли является случай покоящихся жидкостей (статических жидкостей). Когда жидкость находится в состоянии покоя, она не имеет скорости. Следовательно, v₁ = v₂ = 0. В случае покоящейся жидкости уравнение Бернулли можно сформулировать следующим образом:
Если h² - h₁ = h, то это уравнение можно записать следующим образом:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Уравнение Бернулли для потока в трубах одинаковой высоты
Если высота трубки или трубы одинакова, то уравнение Бернулли изменяется следующим образом:
