Материалы по умножению точек с использованием компонентов единичного вектора
Мы можем вычислить скалярное произведение напрямую, если нам известны x, y и z компоненты векторов A и B (известные векторы).
Для выполнения скалярного произведения таким способом сначала выполняется скалярное произведение единичных векторов, после чего векторы А и В выражаются в виде их компонент, произведение разлагается на составляющие и используется произведение единичных векторов.
Единичные векторы i , j и k перпендикулярны друг другу, что упрощает вычисления. Используя выведенное выше уравнение умножения на скаляр ( AB = AB cos θ ), получаем:
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Теперь выразим векторы А и В через их компоненты, разложим их произведение и используем произведение единичных векторов.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 и i . j = i . k = j . k = 0, тогда:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
На основании результатов этого вычисления можно сделать вывод, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их подобных компонентов.
Пример вопроса 1:
Большой вектор A Дан B Соответственно, это 5 и 4, как показано на рисунке ниже. Образованный угол равен 90°.oПосчитайте это. скалярное произведение оба вектора.
Обсуждение
Прежде чем вычислять скалярное произведение векторов А и В, нам сначала нужно узнать компоненты второго вектора.
А х = (5) потому что 0 о = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Вектор А имеет только векторные компоненты по оси x, а вектор В — только по оси y. Компонента по оси z равна нулю, поскольку векторы А и В лежат в плоскости xy.
Теперь вычислим скалярное произведение векторов A и B, используя уравнение скалярного произведения с компонентами векторов:
A. Б = Аx Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
А. В = 0 + 0 + 0
А. В = 0
Давайте сравним его с первым методом.
AB = AB cos θ
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Результат тот же.
Пример вопроса 2:
Большой вектор A Дан B Значения равны 5 и 4 соответственно, как показано на рисунке ниже. Вычислите скалярное произведение оба вектора, если образованный угол равен 30°.o
Обсуждение
Прежде чем вычислять скалярное произведение векторов А и В, нам сначала нужно узнать компоненты второго вектора.
Компонента по оси Z равна нулю, поскольку векторы A и B лежат в плоскости xy.
Теперь вычислим скалярное произведение векторов A и B, используя уравнение скалярного произведения с компонентами векторов:
Сравните с первым методом.
