Материалы для перекрестного умножения с использованием единичных векторных компонентов
Мы можем вычислить векторное произведение напрямую, если знаем компоненты векторов. Процедура та же, что и для скалярного произведения . Сначала мы умножаем единичные векторы i , j и k . Векторное произведение одинаковых единичных векторов равно нулю.
i x i = j x j = k x k = 0
Опираясь на ранее выведенное уравнение умножения векторов (A x B = AB без θ) и антикоммутативное свойство векторное умножение (A x B знак равно B x A), тогда получаем:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Теперь выразим векторы А и В через их компоненты, разложим их произведение и используем произведение единичных векторов.
A x Б = (Axi + Ayj + Azk) Икс (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 Дан i x j знак равноj x i = k, j x k знак равноk x j = i, k x i = –i x k = j, так :
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – Ax Bz)j + (AxBy – AyBx )k
Если C = A x B , то компоненты C следующие:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
