Momen inersia

Momento de Inércia do Material

Há dois objetos, um com massa pequena e o outro com massa maior. Qual objeto é mais fácil de mover se empurrado com a mesma força? O fato demonstra que objetos com massa menor são mais fáceis de mover do que objetos com massa maior. Portanto, a massa de um objeto determina a magnitude de sua aceleração quando uma força é aplicada. Se, em movimento retilíneo uniforme, a massa de um objeto determina se ele é fácil ou difícil de mover (acelerar), então, em movimento rotacional, o momento de inércia de um objeto determina se ele é fácil ou difícil de mover.

Partículas
Considere uma partícula em rotação. Uma partícula de massa m recebe uma força F que a faz girar em torno do eixo de rotação O. A partícula está a uma distância r do eixo de rotação. Inicialmente, a partícula está em repouso (v = 0). Após ser movida pela força F, a partícula gira a uma certa velocidade, de modo que possui uma aceleração tangencial (a tan).
A relação entre a força (F), a massa (m) e a aceleração tangencial (a tan) de uma partícula é expressa pela equação:
A partícula gira de forma que adquire uma aceleração angular. A relação entre a aceleração tangencial e a aceleração angular é expressa pela equação:
Substitua a aceleração tangencial (a tan) na equação 3 pela aceleração tangencial (a tan) na equação 4.
Multiplique os lados esquerdo e direito por r:
r F é o momento de força e mr² é o momento de inércia da partícula i). A Equação 5 estabelece a relação entre o momento de força, o momento de inércia e a aceleração angular de uma partícula em rotação. A Equação 5 é a segunda lei de Newton para uma partícula em rotação.
I é o produto da massa da partícula (m) e do quadrado da distância da partícula ao eixo de rotação (r).²).
Em formação :
I = momento de inércia da partícula, m = massa da partícula, r = distância entre a partícula e o eixo de rotação.
A equação 6 é usada para determinar o momento de inércia de uma partícula em rotação.
Para que você possa entender melhor a revisão sobre o momento de inércia das partículas, por favor... Estude exemplos de problemas relacionados ao momento de inércia de partículas.

Corpo rígido homogêneo
Um corpo rígido é composto por muitas partículas distribuídas por todo o seu corpo. O momento de um corpo rígido é a soma de todos os momentos de cada partícula que o compõe.
Para determinar o momento de inércia (I) de um objeto rígido, o objeto é observado enquanto gira, pois a posição do eixo de rotação afeta o valor do momento. Além de depender da posição do eixo de rotação, o momento de inércia (I) de uma partícula também depende da massa da partícula (m) e do quadrado da distância da partícula ao eixo de rotação (r).²A massa de todas as partículas que compõem um objeto é igual à massa do próprio objeto. O problema é que a distância de cada partícula ao eixo de rotação varia.
Considere a dedução da fórmula para um anel fino de raio R e massa M. Se o eixo de rotação estiver no centro do anel, então todas as partículas que o compõem estarão a uma distância r do eixo de rotação. O momento angular (I) do anel fino é igual à soma dos momentos de todas as partículas que o compõem.
Cada partícula que compõe o anel fino está a uma distância r do eixo de rotação, de modo que r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Fórmula para anel fino:
Eu = MR²
Em formação :
I = momento de inércia do anel fino, M = massa do anel fino, R = raio do anel fino
E se o eixo de rotação não estiver localizado no centro do anel? Se o eixo de rotação não estiver localizado no centro do anel, a fórmula para o anel fino não pode ser derivada usando o método acima, porque a distância de cada partícula ao eixo de rotação varia.

Fórmula para corpo rígido homogêneo
A seguir, são apresentadas fórmulas para diversos corpos rígidos homogêneos.

Exemplo de problema

1. Questões do Exame Nacional SMA/MA de 2017

Preste atenção à tabela a seguir!

Os objetos P, Q e R estão conectados por uma haste sem massa. A magnitude do momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano que passa pelo eixo do objeto P é…

Discussão

Isso é conhecido:

Pergunta: Momento de inércia do sistema

Resposta:

Momento de inércia do objeto Q:

I _Q = mr ² = (0,5)(10 ² ) = (0,5)(100) = 50 kg m ²

Momento de inércia do objeto R:

I _R = mr ² = (3)(6 ² ) = (3)(36) = 108 kg m ²

Momento de inércia do objeto P:

O eixo de rotação passa pelo eixo do objeto P, de modo que r = 0.

Momento de inércia do sistema:

I = 50 kg m ² + 108 kg m ²

I = 158 kg ^m²