د ویکتور نوټیشن اصطلاحات او ډولونه

د ویکتور نوټیشن اصطلاحات او ډولونه

کله چې د ریاضي، فزیک او کمپیوټر ساینس په اړه بحث کوو، د ویکتورونو مفهوم اکثرا د پوهیدو لپاره یو مهم عنصر دی. ویکتورونه یوازې تجریدي مفکورې نه دي؛ دوی په مختلفو عملي حالتونو کې اړونده دي، لکه د معلوماتو تحلیل، کمپیوټر ګرافیک، او د فزیک سمولیشنونه. پدې مقاله کې، موږ به د ویکتور اصطلاحاتو او یادښت په اړه بحث وکړو، بیا به په دې څانګو کې موندل شوي ویکتورونو مختلف ډولونه وپلټو.

د ویکتور اصطلاحات او یادښت

۱. ویکتورونه او سکیلرونه
ویکتور یو ریاضيکي وجود دی چې شدت او سمت دواړه لري. برعکس، یو سکیلر یو واحد ارزښت دی چې یوازې شدت لري او هیڅ سمت نلري. د مثال په توګه، د 5 متر/سیکنډ سرعت پرته له دې چې سمت وښيي یو سکیلر دی، پداسې حال کې چې د 5 متر/سیکنډ سرعت ختیځ لوري ته ویکتور دی.

۲. د ویکتور نوټیشن
ویکتورونه معمولا د غټ کوچني توري لکه v، یا د توري پورته د تیر په واسطه لکه \(\vec{v}\) لخوا ښودل کیږي. د مثال په توګه، که موږ یو ویکتور v ولرو چې عناصر یې \(v_1, v_2, v_3\) دي، نو دا په لاندې ډول لیکل کیدی شي:
\[ \vec{v} = \\ پیل{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ پای{pmatrix} \]

د ویکتورونو د لیکلو بله لاره، په ځانګړې توګه په دوه یا درې بعدي شرایطو کې، د معیاري اساس کارول دي. د مثال په توګه:
\[ \vec{v} = v_1\خولۍ{i} + v_2\خولۍ{j} + v_3\خولۍ{k} \]
چیرته چې \(\hat{i}, \hat{j}\)، او \(\hat{k}\) په x، y، او z محورونو کې واحد ویکتورونه دي.

د ویکتورونو ډولونه

۱. موقعیت ویکتور
د موقعیت ویکتور هغه ویکتور دی چې په فضا کې د یوې نقطې موقعیت د حوالې نقطې په پرتله بیانوي، معمولا نقطه O (اصل). که چیرې نقطه P په درې بعدي فضا کې همغږي (x، y، z) ولري، نو د موقعیت ویکتور \(\vec{r}\) په لاندې ډول څرګند کیدی شي:
\[ \vec{r} = x\ټوپۍ{i} + y\ټوپۍ{j} + z\ټوپۍ{k} \]

۲. د بې ځایه کېدو ویکتور
د بې ځایه کېدو ویکتور د یوې نقطې د موقعیت بدلون له یوې نقطې څخه بلې نقطې ته بیانوي. فرض کړئ چې نقطه A همغږي لري (x1, y1, z1) او نقطه B همغږي لري (x2, y2, z2). د بې ځایه کېدو ویکتور \(\vec{d}\) له A څخه B ته په لاندې ډول لیکل کیدی شي:
\[ \vec{d} = (x2 – x1)\hat{i} + (y2 – y1)\hat{j} + (z2 – z1)\hat{k} \]

۳. د سرعت ویکتور
سرعت یو ویکتور دی چې د وخت په هر واحد کې د یو شی د موقعیت د بدلون کچه ښیي. که چیرې \(\vec{r}(t)\) د وخت په اړه د موقعیت فعالیت وي، نو د سرعت ویکتور \(\vec{v}(t)\) د وخت t په اړه د \(\vec{r}(t)\) مشتق دی:
\[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \]

۴. د سرعت ویکتور
د سرعت ویکتور د وخت په اړه د سرعت ویکتور مشتق دی. دا د هر واحد وخت په اړه د یو شی د سرعت د بدلون کچه په ګوته کوي. که چیرې \(\vec{v}(t)\) د وخت په اړه د سرعت فعالیت وي، نو د سرعت ویکتور \(\vec{a}(t)\) د \(\vec{v}(t)\) مشتق دی:
\[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \]

۵. د ځواک ویکتور
د نیوټن د دوهم قانون له مخې، قوه د کتلې او سرعت محصول دی. قوه هم یو ویکتور دی ځکه چې دا اندازه او سمت دواړه لري. که چیرې m ډله وي او \(\vec{a}\) د سرعت ویکتور وي، نو د قوې ویکتور \(\vec{F}\) په لاندې ډول څرګند کیدی شي:
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]

۷. د واحد ویکتور
یو واحد ویکتور هغه ویکتور دی چې د یو اندازه اندازه (اوږدوالی) لري. د یو ویکتور \(\vec{v}\) واحد ویکتور د \(\vec{v}\) د هغې د اندازې په ویشلو سره ترلاسه کیدی شي. که \(\vec{v}\) د \(||\vec{v}||\) اندازه ولري، نو د هغې واحد ویکتور په لاندې ډول لیکل کیدی شي:
\[ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \]

۷. صفر ویکتور
صفر ویکتور هغه ویکتور دی چې ټول اجزا یې صفر دي، او معمولا د \(\vec{0}\) لخوا ښودل کیږي. دا ویکتور هیڅ سمت نلري او د هغې شدت صفر دی. په درې بعدي فضا کې یوه بیلګه دا ده:
\[ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \پای{pmatrix} \]

۸. اورتوګونل ویکتورونه
دوه ویکتورونه اورتوګونل بلل کیږي که چیرې د دوی داخلي محصول صفر وي. که \(\vec{u}\) او \(\vec{v}\) دوه ویکتورونه وي، نو دوی اورتوګونل دي که چیرې:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]

۹. کولینیر ویکتورونه او کوپلانار ویکتورونه
دوه ویکتورونه هغه وخت خطي بلل کیږي کله چې دوی د ورته مستقیم کرښې په اوږدو کې موقعیت ولري یا موازي وي. دوی د یو بل د پیمانه ضربونو په توګه څرګند کیدی شي. د مثال په توګه:
\[ \vec{v} = k\vec{u} \]
د ځینو پیمانه \(k\) لپاره.

په عین حال کې، ویل کیږي چې درې ویکتورونه ګډ پلانر دي که چیرې دوی په ورته الوتکه کې وي. دوی د نورو دوو ویکتورونو د خطي ترکیب په توګه څرګند کیدی شي.

په ویکتورونو عملیات

۱. د ویکتور اضافه او منفي کول
د ویکتور اضافه کول د دوی د اړوندو برخو په اضافه کولو سره ترسره کیږي. که \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) او \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\)، نو:
\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \پای{pmatrix} \]

منفي کول د اړوندو برخو په کمولو سره ترسره کیږي:
\[ \vec{u} – \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ u_3 – v_3 \پای{pmatrix} \]

۲. د پیمانه ضرب
د سکالر ضرب یو عملیات دی چې یو ویکتور پکې شامل دی چې د سکالر (عددي ارزښت) سره وي. که k یو سکالر وي او \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\)، نو:
\[ k\vec{v} = \بیګین{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \پای{pmatrix} \]

۳. داخلي محصول (ټکټ محصول)
د دوو ویکتورونو \(\vec{u}\) او \(\vec{v}\) داخلي محصول یو پیمانه دی. دا په لاندې ډول محاسبه کیدی شي:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]

۴. کراس محصول
د دوو ویکتورونو \(\vec{u}\) او \(\vec{v}\) متقابل محصول یو نوی ویکتور تولیدوي چې د دې دواړو ویکتورونو لپاره اورتوګونل دی. په درې بعدي فضا کې، دا په لاندې ډول محاسبه کیږي:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \ پیل{vmatrix}
\ خولۍ{i} او \ خولۍ{j} او \ خولۍ{k} \\
u_1 او u_2 او u_3 \\
v_1 او v_2 او v_3
\ پای {vmatrix} \]

پایله

د ویکتور اصطلاحاتو او نوټیشن پوهیدل، او همدارنګه د دوی ډولونه، په مختلفو ساینسي څانګو کې خورا مهم دي. ویکتورونه نه یوازې د ریاضيکي تجریداتو بنسټونه دي، بلکې په فزیک، انجینرۍ، او معلوماتي ټیکنالوژۍ تحلیل کې هم پیاوړي وسایل دي. د دې بنسټیزو مفاهیمو ښه پوهیدو سره، موږ کولی شو په پراخه کچه برخو کې پیچلې ستونزې په اسانۍ سره حل کړو.