د دوه نومي ویش تمه شوی ارزښت

د دوه نومي ویش تمه شوی ارزښت

د دوه نومي ویش په احصایو او احتمالاتو کې یو له خورا عامو مختلط احتمالي ویشونو څخه دی. دا ویش د خپلواکو دوه نومي ازموینو په لړۍ کې د بریالیتوبونو شمیر بیانوي (هغه آزموینې چې یوازې دوه پایلې لري: بریا یا ناکامي). د دوه نومي ویش د ښه پوهیدو لپاره، دا مهمه ده چې د تمه شوي ارزښت مفهوم پوه شئ، کوم چې د اوږدې مودې لپاره د تکرار شوي ازموینو لړۍ اوسط ارزښت بیانوي. دا مقاله به د دوه نومي ویش په شرایطو کې د تمه شوي ارزښت مفهوم بیاکتنه وکړي.

د دوه نومي ویش تعریف

د دوه نومي ویش په هغه شرایطو کې رامینځته کیږي چیرې چې موږ یو شمیر ورته او خپلواکې آزموینې ترسره کوو، او هره آزموینه دوه متقابل ځانګړي پایلې لري، چې معمولا د "بریالیتوب" او "ناکامي" په نوم یادیږي. د مثال په توګه، د سکې بدلول (سرونه یا لکۍ)، د ازموینې پوښتنې ته ځواب ورکول (ریښتیا یا غلط)، یا طبي آزموینه (درملنه شوې یا نه درملنه شوې).

د دوه نومي ویش د دوو پیرامیټرو لخوا تعریف شوی:
– n ، د ازموینو شمیر.
– p، په هره محاکمه کې د بریالیتوب احتمال.

په لنډه توګه، که چیرې X یو تصادفي متغیر وي چې د n آزموینو کې د بریالیتوبونو شمیر استازیتوب کوي، نو X د n او p پیرامیټرو سره د دوه اړخیز ویش تعقیبوي، چې د X ~ دوه اړخیز(n، p) په توګه ښودل شوي.

د احتمال دنده

د دوه نومي ویش احتمال فعالیت په لاندې ډول دی:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
چیرته:
– \( \binom{n}{k} \) د دوه نومي ضريب دی، کوم چې د \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) په توګه محاسبه کیږي.
– \( k \) د بریالیتوبونو مطلوبه شمیره ده.
– \( n \) د ازموینو شمیر دی.
– \( p \) په هره محاکمه کې د بریالیتوب احتمال دی.
– \( (1-p) \) په هره ازموینه کې د ناکامۍ احتمال دی.

تمه شوې ارزښت

د احتمال ویش متوقع ارزښت یا اوسط د مرکزي موقعیت یو له خورا مهمو اقداماتو څخه دی. د دوه نومي ویش لپاره، د یو ناڅاپي متغیر X تمه شوی ارزښت چې د دوه نومي (n، p) تعقیبوي دا دی:
\[ ای (ایکس) = این پی \]

د متوقع ارزښت ثبوت

د دې لپاره چې پوه شو چې ولې د دوه نومي ویش تمه شوی ارزښت np دی، موږ کولی شو د تمه شوي ارزښت د خطي ملکیت وکاروو او وګورو چې بائنري متغیرات څنګه خپل ونډې ته اضافه کوي.

راځئ چې \( X \) د n بائنري آزموینو کې د بریالیتوبونو شمیر په توګه تعریف کړو. په ځانګړي ډول، اجازه راکړئ \( X_i \) یو ناڅاپي متغیر وي چې د i-th آزموینې پایله په ګوته کوي، سره \( X_i = 1 \) که i-th آزموینه بریالۍ وي، او \( X_i = 0 \) که دا ناکامه وي. بیا، موږ کولی شو \( X \) په لاندې ډول ولیکو:
\[ ایکس = ایکس_۱ + ایکس_۲ + \ډټونه + ایکس_ن \]

څرنګه چې هر \( X_i \) یو بائنری متغیر دی چې د بریالیتوب احتمال p لري، د \( X_i \) تمه شوی ارزښت دا دی:
\[ E(X_i) = ۱ \cdot p + ۰ \cdot (1-p) = p \]

موږ کولی شو د متوقع ارزښت د خطي ملکیت د X د متوقع ارزښت لپاره وکاروو:
\[ ای (ایکس) = ای (ایکس_۱ + ایکس_۲ + \ډټونه + ایکس_ن) \]
\[ ای (ایکس) = ای (ایکس_۱) + ای (ایکس_۲) + \ډټونه + ای (ایکس_ن) \]
\[ ای (ایکس) = مخ + مخ + \ډټونه + مخ \]
\[ ای (ایکس) = این پی \]

دا ښیي چې د دوه نومي ویش تمه شوی ارزښت np دی.

توضیحي مثال

هغه قضیه په پام کې ونیسئ چیرې چې موږ یوه عادلانه سکه لس ځله واړوو. راځئ چې وپوښتو چې د هغو بدلونونو شمیر چې سرونه یې رامینځته کوي تمه کیدونکی ارزښت به څومره وي.

په دې حالت کې:
– n = ۱۰ (د سکې اچولو شمېر)
– p = 0.5 (د سرونو د ترلاسه کولو احتمال، ځکه چې سکه عادلانه ده)

نو، تمه شوې ارزښت دا دی:
\[ E(X) = np = 10 \ ځله 0.5 = 5 \]

دا پدې مانا ده چې که موږ د اوږدې مودې لپاره یوه سکه لس ځله وګرځوو، په اوسط ډول به موږ پنځه ځله سرونه ترلاسه کړو.

توپیر او معیاري انحراف

د متوقع ارزښت سربیره، دا هم مهمه ده چې د دوه نومي ویش توپیر او معیاري انحراف پوه شئ.

د دوه نومي ویش لپاره، توپیر \( \sigma^2 \) او معیاري انحراف \( \sigma \) په لاندې ډول دي:
\[ \سګما^2 = np(1-p) \]
\[ \سګما = \sqrt{np(1-p)} \]

توپیر اندازه کوي چې معلومات د تمه شوي ارزښت څخه څومره لرې خپریږي. معیاري انحراف د تغیر مربع ریښه ده او د معلوماتو خپریدو اندازه هم کوي، مګر د اصلي معلوماتو په څیر په ورته واحدونو کې.

پایله

د دوه نومي ویش په احصایو او احتمالاتو کې یو بنسټیز مفهوم دی، چې ډیری وختونه د حقیقي نړۍ په مختلفو غوښتنلیکونو کې، له سوداګرۍ څخه تر ټولنیزو علومو او بیولوژي پورې ورسره مخ کیږي. د دوه نومي ویش تمه شوی ارزښت، چې د np په توګه محاسبه کیږي، د دوه نومي ازموینو په لړۍ کې د بریالیتوبونو اوسط شمیر په اړه مهم بصیرت چمتو کوي. د متوقع ارزښت، توپیر، او معیاري انحراف مفکورو په پوهیدو سره، موږ کولی شو د دوه نومي ویش د ځانګړتیاوو او دا چې دا څنګه په ورځني ژوند کې ځینې پیښې بیانوي روښانه پوهه ترلاسه کړو.

دا پوهه نه یوازې د معلوماتو تحلیل او احصایې کې خورا ګټوره ده، بلکې د پریکړې کولو کې هم چې د احتمال او ناڅرګندتیا ارزونه ته اړتیا لري. د تمه شوي ارزښت او دوه اړخیز ویش پوهیدل کولی شي موږ سره د ډیرو دقیقو وړاندوینې کولو او ډیرو باخبره پریکړو کولو کې مرسته وکړي.