د کارټیزین همغږۍ سیسټم کې د درې بعدي ویکتورونو مثال پوښتنې او بحث
درې بعدي ویکتورونه په ریاضي او فزیک کې یو مهم مفهوم دی، چې ډیری وختونه په درې بعدي فضا کې د شیانو یا پیښو استازیتوب لپاره کارول کیږي. د کارټیزین همغږي سیسټم کې، دا ویکتورونه د دریو برخو لخوا استازیتوب کیږي، معمولا د \( (x، y، z) \) په توګه ښودل کیږي. دا مقاله به د کارټیزین همغږي سیسټم کې د درې بعدي ویکتورونو پورې اړوند څو مثالونو ستونزو او حلونو په اړه بحث وکړي.
د درې بعدي ویکتورونو پوهیدل
په درې بعدي فضا کې یو ویکتور د \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) په توګه څرګند کیدی شي، چیرته چې:
– \(A_x\) د ایکس محور په اوږدو کې د ویکتور جز دی.
– \(A_y\) د y محور په اوږدو کې د ویکتور جز دی.
– \(A_z\) د z محور په اوږدو کې د ویکتور جز دی.
نمونې پوښتنې او بحث
پوښتنه ۱: د ویکتور اضافه کولو عملیات
دوه ویکتورونه ورکړل شوي، \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) او \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\). د دې دوو ویکتورونو مجموعه محاسبه کړئ.
بحث:
د دوو ویکتورونو \(\mathbf{A}\) او \(\mathbf{B}\) اضافه کول د دوی د اړوندو برخو په اضافه کولو سره ترسره کیږي. نو، موږ لرو:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
ورکړل شوي ویکتور ارزښتونه ځای په ځای کړئ:
\[
ریاضی = (2 + (-1)، -3 + 5، 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
نو، د ویکتورونو \(\mathbf{A}\) او \(\mathbf{B}\) د اضافه کولو پایله \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\) ده.
پوښتنه ۲: د ویکتور تفریق عملیات
دوه ویکتورونه ورکړل شوي، \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) او \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). د دې دوو ویکتورونو، یعنې \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)، د منفي کولو محاسبه وکړئ.
بحث:
د دوو ویکتورونو \(\mathbf{A}\) او \(\mathbf{B}\) منفي کول د دوی د اړوندو برخو د منفي کولو له لارې ترسره کیږي. نو، موږ لرو:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
ورکړل شوي ویکتور ارزښتونه ځای په ځای کړئ:
\[
ریاضی = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
نو، د ویکتورونو \(\mathbf{A}\) او \(\mathbf{B}\) د کمولو پایله \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\) ده.
پوښتنه ۳: د پیمانه ضرب عملیات
د یو ویکتور \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) او یو سکیلر \(k = 4\) په پام کې نیولو سره. د دې ویکتورونو سکیلر محصول محاسبه کړئ.
بحث:
د یو سکالر \(k\) ضرب کول د ویکتور \(\mathbf{A}\) سره د ویکتور د هرې برخې ضرب کولو سره ترسره کیږي. په دې توګه، موږ لرو:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
ورکړل شوي ارزښتونه ځای په ځای کړئ:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
نو، د ویکتور \(\mathbf{A}\) سره د سکیلر \(k\) ضرب کولو پایله \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\) ده.
څلورمه پوښتنه: د ویکتور اوږدوالی
د ویکتور اوږدوالی (شدت) محاسبه کړئ \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\).
بحث:
د ویکتور اوږدوالی یا شدت \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) د دې فورمول په کارولو سره محاسبه کیدی شي:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
ورکړل شوي ارزښتونه ځای په ځای کړئ:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
نو، د ویکتور اوږدوالی \(\mathbf{A}\) 3 دی.
پوښتنه ۵: د ټکي محصول
دوه ویکتورونه ورکړل شوي، \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) او \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\). د دې دوو ویکتورونو د نقطې محصول محاسبه کړئ.
بحث:
د دوو ویکتورونو \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) او \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) د نقطې محصول د اړوندو اجزاو ضرب کولو او بیا د هغوی اضافه کولو سره ترسره کیږي. په دې توګه، موږ لرو:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
ورکړل شوي ارزښتونه ځای په ځای کړئ:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 - 4 = -2
\]
نو، د ویکتورونو \(\mathbf{A}\) او \(\mathbf{B}\) د نقطې محصول -2 دی.
پوښتنه ۶: متقابل محصول
دوه ویکتورونه ورکړل شوي، \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) او \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\). د دې دوو ویکتورونو متقابل محصول محاسبه کړئ.
بحث:
د دوو ویکتورونو \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) او \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) متقابل محصول د لاندې فورمول په کارولو سره ترسره کیږي:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y)، (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z)، (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
ورکړل شوي ارزښتونه ځای په ځای کړئ:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5)، (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6)، (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
نو، د ویکتورونو \(\mathbf{A}\) او \(\mathbf{B}\) متقابل محصول \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\) دی.
پایله
د کارټیزین کوآرډینټ سیسټم کې درې بعدي ویکتورونه د ساینس او انجینرۍ په مختلفو برخو کې اړین وسایل دي. د پورته مثالونو او بحثونو له لارې، موږ ولیدل چې څنګه په ویکتورونو کې مختلف اساسي عملیات ترسره کړو، لکه اضافه، تفریق، د ضرب الاجل، او د نقطو او کراس محصولات. د دې مفاهیمو قوي پوهه به نه یوازې په ریاضي کې بلکې په فزیک، انجینرۍ او کمپیوټر ساینس کې په عملي غوښتنلیکونو کې هم ارزښتناکه وي.
