د همغږۍ سیسټم کې د دوه اړخیزو ویکتورونو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنو

د همغږۍ سیسټم کې د دوه اړخیزو ویکتورونو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې

ویکتور هغه مقدار دی چې شدت او سمت دواړه لري. ویکتورونه په مکرر ډول په مختلفو ریاضي او فزیک موضوعاتو کې د مختلفو پیښو استازیتوب لپاره کارول کیږي. پدې مقاله کې، موږ به د همغږۍ سیسټم کې د دوه بعدي ویکتورونو مثالونو په اړه بحث وکړو.

د همغږۍ سیسټمونو کې د ویکتورونو اساسي مفکورې
په دوه بعدي همغږي سیسټم کې یو ویکتور د \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) په توګه ښودل کیدی شي، چیرې چې \(a_1\) د ویکتور x-جزو دی او \(a_2\) د ویکتور y-جزو دی. ویکتور په دوو برخو ویشل کیدی شي، یعنې x-جزو او y-جزو.

د ویکتور اضافه او منفي کول
د دوو ویکتورونو \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) او \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) اضافه کول دا دي:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
پداسې حال کې چې کمښت دا دی:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]

د سکالر ضرب
که \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) او \(k\) یو پیمانه وي، نو \(k\vec{A}\) دا دی:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]

د ویکتور شدت
د ویکتور \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) اندازه یا اوږدوالی دا دی:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]

د واحد ویکتور
یو واحد ویکتور هغه ویکتور دی چې د یو واحد اوږدوالی لري. د \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) واحد ویکتور دا دی:
\[
\hat{A} ​​= \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \ښي)
\]

نمونې پوښتنې او بحث

دوهمه پوښتنه: د ویکتورونو جمع او تفریق
دوه ویکتورونه په لاندې ډول ورکړل شوي دي: \(\vec{A} = (3, 4)\) او \(\vec{B} = (1, 2)\). د \(\vec{A} + \vec{B}\) او \(\vec{A} – \vec{B}\) محصول ومومئ.

بحث:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]

دوهمه پوښتنه: د پیمانه ضرب
د ویکتور \(\vec{C} = (2, -3)\) په پام کې نیولو سره، \(3\vec{C}\) او \(-2\vec{C}\) محاسبه کړئ.

بحث:
\[
۳\vec{C} = ۳ \cdot (۲، -۳) = (۶، -۹)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]

پوښتنه ۳: د ویکتور شدت
د ویکتور شدت محاسبه کړئ \(\vec{D} = (5, 12)\).

بحث:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]

څلورمه پوښتنه: د واحد ویکتورونه
د ویکتور \(\vec{E} = (4, 3)\) واحد ویکتور ومومئ.

بحث:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\خولۍ{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \کیڼ( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \ښي)
\]

پنځمه پوښتنه: د ویکتورونو موقعیت او واټن
په دوه بعدي همغږي الوتکه کې دوه ټکي P(2, 3) او Q(5, 7) دي. د P نقطې څخه تر Q نقطې پورې د موقعیت ویکتور او د دوی ترمنځ واټن مشخص کړئ.

بحث:
د P څخه تر Q پورې د موقعیت ویکتور دا دی:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
د P او Q نقطو ترمنځ واټن دا دی:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

پوښتنه ۶: د ټکي محصول پایله
که \(\vec{F} = (-3, 4)\) او \(\vec{G} = (2, 1)\) وي، نو د \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) د نقطې محصول محاسبه کړئ.

بحث:
د دوو ویکتورونو د نقطې محصول دا دی:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]

پوښتنه ۷: د دوو ویکتورونو ترمنځ زاویه
که \(\vec{H} = (7, -4)\) او \(\vec{I} = (3, 0)\) وي، نو د دوو ویکتورونو ترمنځ زاویه معلومه کړئ.

بحث:
د دوو ویکتورونو ترمنځ د زاویې د ټاکلو لپاره، موږ دا فورمول کاروو:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
لومړی، د نقطې محصول \(\vec{H} \cdot \vec{I}\ محاسبه کړئ):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
بیا، د \(\vec{H}\) او \(\vec{I}\) اندازه محاسبه کړئ:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
دا ارزښتونه په فورمول کې دننه کړئ:
\[
د دې لپاره چې د 65 دقیقو لپاره د 3 دقیقو لپاره د 65
\]
نو، \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).

پوښتنه ۸: د ویکتور پروجیکشن
د ویکتورونو \(\vec{J} = (2, 1)\) او \(\vec{K} = (-1, 3)\) لپاره، د \(\vec{J}\) پروجیکشن په \(\vec{K}\) محاسبه کړئ.

بحث:
د \(\vec{J}\) پروجیکشن په \(\vec{K}\) باندې دا دی:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = بائیں (\frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \ حق) \vec{K}
\]
لومړی، د نقطې محصول محاسبه کړئ \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
بیا، د \(\vec{K}\ شدت):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
نو داسې،:
\[
|\vec{K}|^2 = ۱۰
\]
فورمول ته داخل شئ:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]

دا د همغږۍ سیسټم کې د دوه اړخیزو ویکتورونو پورې اړوند ستونزو او بحثونو مثالونه دي. د ویکتورونو ښه پوهه کولی شي په ریاضي، فزیک او انجینرۍ کې په ډیری غوښتنلیکونو کې ګټوره وي. د مختلفو مثالونو سره تمرین کول کولی شي ستاسو د دې مفهوم پوهه ژوره کړي، او دا اجازه ورکوي چې دا په مختلفو شرایطو کې په مؤثره توګه پلي شي.