د خطي مساواتو او نابرابرۍ سیسټمونو په اړه د بحث پوښتنې مثالونه
د خطي مساواتو او نابرابرۍ سیسټمونه په ریاضي کې یوه مهمه موضوع ده چې په مختلفو برخو کې پراخه کارول کیږي، لکه اقتصاد، ساینس، او انجینرۍ. پدې مقاله کې، موږ به د خطي مساواتو او نابرابرۍ سیسټمونو پورې اړوند د مثال ستونزو او د هغوی د حل کولو څرنګوالي په اړه په تفصیل سره بحث وکړو.
د خطي معادلو د سیسټم تعریف
د خطي مساواتو یو سیسټم د دوو یا ډیرو خطي مساواتو څخه جوړ دی چې یو بل سره تړاو لري. مثالونه یې دا دي:
\[
\ پیل {قضیې}
۲x + ۳y = ۵ \\
۴x – y = ۱
\ پای { قضیې }
\]
د دې سیسټم د حل کولو هدف د \(x\) او \(y\) ارزښتونو موندل دي چې دواړه معادلې په یو وخت کې پوره کوي.
د خطي معادلو د سیسټمونو د حل لپاره میتودونه
د خطي معادلو سیسټمونو د حل لپاره ډیری میتودونه شتون لري، په شمول د:
۱. د بدیل طریقه
۲. د له منځه وړلو طریقه
۳. د میټریکس طریقه (معکوس یا ګاس-اردن)
د مثال پوښتنه ۱: د بدیل طریقه
راځئ چې د بدیل میتود په کارولو سره لاندې سیسټم حل کړو:
\[
\ پیل {قضیې}
x + 2y = 10 \\
۴x – y = ۱
\ پای { قضیې }
\]
لنګکاه:
۱. په یوه معادلې کې یو متغیر جلا کړئ.
د لومړۍ معادلې څخه، موږ \(x\) جلا کوو:
\[
x = ۱۰ – ۲ کاله
\]
۲. موندل شوې جمله په بلې معادلې کې ځای په ځای کړئ.
په دوهمه معادله کې \(x = 10 – 2y\) ځای ونیسئ:
\[
۳(۱۰ – ۲y) – y = ۵
\]
د \(y\) لپاره حل کړئ:
\[
۳۰ – ۶ کاله – y = ۵
\]
\[
۳۰ – ۷ کاله = ۵
\]
\[
-۷کال = -۲۵
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
۳. د نورو متغیرونو موندلو لپاره موندل شوي ارزښتونه وکاروئ.
د \(x\) لپاره \(y = \frac{25}{7}\) بیرته په عبارت کې ځای په ځای کړئ:
\[
x = ۱۰ – ۲\کیڼ(\frac{25}{7}\ښي)
\]
\[
x = ۱۰ – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
نو، د سیسټم حلونه \( x = \frac{20}{7} \) او \( y = \frac{25}{7} \) دي.
د مثال پوښتنه ۲: د له منځه وړلو طریقه
بیا، راځئ چې د لاندې سیسټم د حل لپاره د له منځه وړلو طریقه وکاروو:
\[
\ پیل {قضیې}
۲x + ۳y = ۵ \\
4x + 6y = 24
\ پای { قضیې }
\]
په دې حالت کې، موږ ګورو چې دویمه معادله د لومړۍ معادلې ضرب ده. د سیسټم کمولو لپاره، موږ کولی شو لومړۍ معادله په 2 سره ضرب کړو او بیا یې له دوهمې معادلې څخه کم کړو:
۱. لومړۍ معادله په ۲ سره ضرب کړئ:
\[
۲(۲x + ۳y) = ۲ \cdot ۱۲
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
۲. د دوهمې معادلې څخه ضرب شوی لومړۍ معادله کم کړئ:
\[
(۴x + ۶y) – (۴x + ۶y) = ۲۴ – ۲۴
\]
\[
0 = 0
\]
دا \(0 = 0\) ورکوي، کوم چې دا په ګوته کوي چې سیسټم لامحدود حلونه لري او دا معادلې تړاو لري.
د مثال دریمه پوښتنه: خطي نابرابرۍ
خطي نابرابرۍ د خطي معادلو ته ورته اصول تعقیبوي، مګر د نابرابرۍ نښې پکې شاملې دي لکه \(<, \leq, >, \geq\). راځئ چې یو ساده مثال وګورو:
\[
\ پیل {قضیې}
۳x – y < ۷ \\ ۲x + y \geq ۴ \end{cases} \] ګامونه: ۱. موږ د دې سیسټم د حل سیمې د ټاکلو لپاره د ګرافیکي میتود څخه کار اخلو. هره نابرابري ګراف کړئ. ۲. نابرابري په یوه معادلې بدله کړئ ترڅو د پولې کرښه معلومه شي: د \(۳x - y < ۷\) لپاره، د پولې کرښه \(۳x - y = ۷\) ده.
