د مشخصو بشپړتیاوو د ملکیتونو په اړه د مثال پوښتنې او بحث
ټاکلی بشپړتیا په حساب کې یو بنسټیز مفهوم دی، چې په ریاضي، فزیک او انجینرۍ کې په پراخه کچه غوښتنلیکونو کې خورا ګټور دی. پدې مقاله کې، موږ به د ټاکلی بشپړتیا ځینې مهم ملکیتونه تشریح کړو او د موضوع په اړه ستاسو د پوهې د ژورولو لپاره مثالونه او حلونه وړاندې کړو.
د مشخصو ادغامونو ځانګړتیاوې
مخکې لدې چې موږ د مثال ستونزو ته ورسیږو، راځئ چې د مشخصو بشپړو موادو ځینې اساسي ملکیتونه بیاکتنه وکړو چې پوهیدل یې مهم دي:
۱. د خطي والي خاصیت:
– که چیرې \( f(x) \) او \( g(x) \) د یوځای کیدونکي دندو وي او \( a \) او \( b \) ثابت وي، نو:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
۲. د ثابت بشپړتیا:
– که \( c \) یو ثابت وي، نو:
\[
\int_a^bc \، dx = c(b – a).
\]
۳. د وقفې اضافه کولو ځانګړتیاوې:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
۴. د محدودیتونو بیرته راګرځول:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]
۵. صفر په ورته حد کې:
\[
\int_a^af(x) \، dx = 0
\]
د مثال لومړۍ پوښتنه: د خطي ملکیت کارول
د ستونزو مثال:
د ارزښت محاسبه کول:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \، dx
\]
بحث:
د انټیګرل په دوو برخو د جلا کولو لپاره د خطي ملکیت وکاروئ:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = \int_0^2 3x^2 \, dx + \int_0^2 2x \, dx
\]
راځئ چې لومړی بشپړ محاسبه کړو:
\[
\int_0^2 3x^2 \، dx
\]
\[
= ۳ \int_0^2 x^2 \، dx
\]
\[
= ۲ \کیڼ [ \frac{x^3}{3} \ښي]_0^3
\]
\[
= ۳ \کیڼ ( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \ښي)
\]
\[
= ۳ \کیڼ ( \frac{8}{3} \ښي)
\]
\[
= 8
\]
اوس، موږ دوهم بشپړ محاسبه کوو:
\[
\int_0^2 2x \، dx
\]
\[
= ۲ \int_0^2 x \، dx
\]
\[
= ۲ \کیڼ [ \frac{x^2}{2} \ښي]_0^2
\]
\[
= ۲ \کیڼ ( ۱ – ۰ \ښی)
\]
\[
= 2
\]
دواړه پایلې سره یوځای کړئ:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \، dx = 8 + 2 = 10
\]
د مثال پوښتنه ۲: د ثابت بشپړتیا
د ستونزو مثال:
د ارزښت محاسبه کول:
\[
\int_1^4 5 \، dx
\]
بحث:
د ثابتو د بشپړ ملکیت په کارولو سره، موږ کولی شو ولیکو:
\[
\int_1^4 5 \، dx = 5 \cdot (4 – 1)
\]
\[
= ۵ \cdot ۳
\]
\[
= 15
\]
د مثال پوښتنه ۳: د محدودیت بدلون ځانګړتیاوې
د ستونزو مثال:
ثابت کړئ چې:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx
\]
بحث:
موږ د \( x^2 \) په انټرل \( [2, 5] \) کې د انټیګرل سره پیل کوو:
\[
\int_2^5 x^2 \، dx = \کیڼ [ \frac{x^3}{3} \ښي]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
اوس، راځئ چې د \( x^2 \) انټیګرل په وقفه \( [5, 2] \) محاسبه کړو او ډاډ ترلاسه کړو چې د ځواب نښه برعکس کړئ:
\[
\int_5^2 x^2 \، dx = \کیڼ [ \frac{x^3}{3} \ښي]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
=-۴۰
\]
دا ثابته شوې ده چې:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx.
\]
د مثال څلورمه پوښتنه: د وقفې اضافه کولو ځانګړتیاوې
د ستونزو مثال:
که چیرې \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) او \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) پیژندل شوي وي، نو د \(\int_2^6 f(x) \, dx\) ارزښت محاسبه کړئ.
بحث:
د وقفې اضافه کولو ملکیت کارول:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
پایله
ټاکلی بشپړتیا ډیری مهمې ځانګړتیاوې لري چې کولی شي موږ سره د مختلفو ډولونو ستونزو په ډیر اغیزمن ډول حل کولو کې مرسته وکړي. پدې مقاله کې، موږ د دې اساسي ځانګړتیاوو په اړه بحث کړی او مثالونه یې وړاندې کړي چې ښیې چې دا ځانګړتیاوې څنګه په عمل کې پلي کیدی شي. د کافي پوهې او تمرین سره، تاسو به وکولی شئ د ټاکلی بشپړتیا ستونزې په ډیر باور سره حل کړئ.
