د ریاضيکي گردش په اړه د بحث کولو لپاره د ستونزو مثالونه
پنډاهولوان
گردش یو هندسي بدلون دی چې ډیری وختونه په ریاضي کې ورسره مخ کیږي، په ځانګړې توګه په هندسي کې. گردش د یو شی شاوخوا د یوې ځانګړې نقطې (د گردش مرکز) شاوخوا د یوې ځانګړې زاویې له لارې د ساعت په لور یا د ساعت په مخالف لوري کې ګرځول شامل دي. د گردش مفهوم د کمپیوټر ګرافیک، فزیک او انجینرۍ په څیر برخو کې خورا مهم دی. دا مقاله به په ریاضي کې د گردش مختلف مثالونه او بحثونه وپلټي.
د گردش پوهیدل
گردش هغه بدلون دی چې د یو شي هر ټکی د یوې ثابتې نقطې په شاوخوا کې، چې د گردش مرکز بلل کیږي، د یوې ټاکلې زاویې په واسطه په یوه ټاکلې لوري کې ګرځوي. د هغه گردش لپاره عمومي یادښت چې د θ زاویه او د گردش مرکز (a, b) سره وي د R_(a, b)(θ) په توګه لیکل کیدی شي.
د یوې نقطې لپاره چې P(x, y) د θ درجو په واسطه د گردش مرکز سره په اصلي (0, 0) کې ګرځیدلی وي، د گردش وروسته د P' (x', y') نوي همغږي به د فورمول په کارولو سره ترلاسه شي:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x ګناه θ + y کاس θ
راځئ چې د گردش ستونزو ځینې مثالونو سره دوام ورکړو چې د دوی بحثونه بشپړ کړي.
نمونې پوښتنې او بحث
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: د A(3, 4) نقطې نوي همغږي معلومه کړئ وروسته له دې چې دا د ساعت په مخالف لوري کې 90 درجې وګرځوئ او د گردش مرکز په اصلي ځای (0, 0) کې وي.
بحث: د ساعت په مقابل لوري کې د 90 درجې زاویې سره د گردش فورمول کارول:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
نو، د گردش وروسته د A' نوي همغږي (-4، 3) دي.
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: نقطه B(2, -1) د ساعت په لور ۱۸۰ درجې څرخیږي او د گردش مرکز په اصلي ځای (0, 0) کې پاتې کیږي. د گردش وروسته د نقطې B نوي همغږي مشخص کړئ.
بحث: د ساعت په لور یا د ساعت په مخالف لوري کې د ۱۸۰ درجو ګرځول ورته پایله ورکوي، یعنې د نقطې همغږي (-x، -y) ته بدلیږي.
– x' = -x = -2
– y' = -y = ۱
نو، د B' نوي همغږي (-2، 1) دي.
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: د C نقطه (-3, 5) د ساعت په مخالف لوري کې د ۲۷۰ درجو په شاوخوا کې څرخیږي او د گردش مرکز یې په اصلي ځای (0, 0) کې دی. د څرخیدو وروسته د C نقطه معلومه کړئ.
بحث: د ساعت په مخالف لوري کې ۲۷۰ درجې گردش د ساعت په لور د ۹۰ درجې گردش سره مساوي دی.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x ګناه(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
نو، د گردش وروسته د C' نوي همغږي (5، -3) دي.
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: د D(5, 5) نقطې نوي همغږي د 45 درجو په څرخولو سره د اصلي ځای (0, 0) کې د گردش مرکز سره مشخص کړئ.
بحث: د ۴۵ درجې زاویې سره د گردش فورمول کارول:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
نو، د گردش وروسته د D' نوي همغږي (0, 5√2) دي.
د گردش مرکز سره چې په اصل کې نه وي
گردشونه تل د اصلي ځای په شاوخوا کې نه ترسره کیږي. د مثال په توګه، فرض کړئ چې موږ غواړو یو ټکی د گردش مرکز (h، k) سره وګرځوو. د دې کولو لپاره، موږ باید همغږي په لاندې ډول تنظیم کړو:
۱. ټکی داسې وژباړئ چې (h، k) اصلي شي.
۲. د تناوب فورمول وکاروئ.
۳. بیرته اصلي حالت ته وژباړئ.
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: نقطه E(5، 7) د ساعت په مخالف لوري کې 90 درجې څرخیږي او د گردش مرکز په نقطه (2، 3) کې دی. د گردش وروسته د نقطې E نوي همغږي مشخص کړئ.
بحث:
۱. د E نقطه د گردش مرکز سره په پرتله اصلي ځای ته وژباړئ (۲، ۳):
– نوی ټکی E' = (۵ – ۲، ۷ – ۳) = (۳، ۴)
۲. د نوي نقطې شاوخوا ۹۰ درجې د ساعت په مخالف لوري وګرځوئ:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 ګناه (90°) + 4 cos(90°) = 3
نو، د گردش وروسته همغږي (-4، 3) دي.
۳. د گردش مرکز په پرتله اصلي موقعیت ته بیرته ژباړه (۲، ۳):
– د پای ټکی E' = (-۴ + ۲، ۳ + ۳) = (-۲، ۶)
نو، د گردش وروسته د نقطې E نوي همغږي (-2، 6) دي.
پایله
د ریاضيکي گردشونو تحلیل او پوهیدل په مختلفو غوښتنلیکونو کې خورا مهم دي. د پورته مثالونو او بحثونو له لارې، له لوستونکو څخه تمه کیږي چې پوه شي چې د گردش فورمولونه څنګه کار کوي او څنګه په مختلفو حالتونو کې پلي کیدی شي. دا تمرین نه یوازې د بنسټیز ریاضي پیاوړتیا کوي بلکه په نورو برخو کې هم ګټور دی چې جیومیټریک بدلونونه پکې شامل دي.
