د نمونې پوښتنې چې د سرعتي ودې په اړه بحث کوي
د اقتصاد، بیولوژي، سوداګرۍ او فزیک په ګډون په ډیری برخو کې د سرعتي ودې یوه کلیدي مفهوم ده. په ورځني ژوند کې، موږ ډیری وختونه د سرعتي ودې سره مخ کیږو، لکه د انسانانو د نفوس وده، د انفلاسیون له امله د نومیالي ارزښتونو کموالی، د ویروسونو خپریدل، او ډیری نور. دا مقاله به د سرعتي ودې پورې اړوند د مختلفو مثالونو ستونزو او د هغې حلونو په اړه بحث وکړي، چې لوستونکو سره به د دې مفهوم په ښه پوهیدو کې مرسته وکړي.
د ظرفي ودې بنسټیز مفاهیم
د کفایتي ودې تعریف د هغه ودې په توګه کیږي چې د وخت په هر واحد کې په ثابت نرخ کې واقع کیږي. په ریاضي ډول، کفایتي وده د معادلې لخوا تعریف کیدی شي:
\[ ن(ټ) = ن_0 \سي ډاټ اي^{کټ} \]
چیرته:
– \( N(t) \) په وخت کې مجموعه ده \( t \)
– \( N_0 \) لومړنی شمېره ده
– \( k \) د ودې کچه ده
– \( t \) وخت دی
– \( e \) د یولر شمیره ده (شاوخوا 2.718)
که د \( k \) ارزښت مثبت وي، نو موږ د کفایتي ودې لرو. برعکس، که \( k \) منفي وي، نو موږ د کفایتي انقباض لرو.
د مثال لومړۍ پوښتنه: د نفوسو وده
سول
د یو ښار لومړنی نفوس ۱۰۰،۰۰۰ کسان وي. که چیرې د ښار نفوس په کال کې د ۲٪ په سرعت سره وده وکړي، نو د لسو کلونو وروسته به د ښار نفوس څومره وي؟
پینیلیسیان
لومړی، موږ باید پیژندل شوي ارزښتونه وپیژنو:
– \( N_0 \) = ۱۰۰،۰۰۰
– \( k \) = په کال کې ۲٪ = ۰.۰۲
– \( t \) = ۱۰ کاله
موږ به د زیاتوالي د ضرب الاجل فورمول وکاروو:
\[ ن(ټ) = ن_0 \سي ډاټ اي^{کټ} \]
پیژندل شوي ارزښتونه په فورمول کې ولګوئ:
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰۰۰۰ \cdot e^{۰.۰۲ \cdot ۱۰} \]
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰۰۰۰ \cdot e^{۰.۲} \]
د \( e^{0.2} \) نږدې ارزښت شاوخوا 1.2214 دی.
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰،۰۰۰ \cdot ۱.۲۲۱۴ \]
\[ ن(۱۰) = ۱۲۲،۱۴۰ \]
نو، د لسو کلونو وروسته د ښار نفوس شاوخوا ۱۲۲،۱۴۰ کسان دی.
-
د مثال پوښتنه ۲: د پانګونې ارزښت
سول
تاسو په یوه حساب کې ۵۰۰۰ ډالر جمع کوئ چې ۵٪ کلنی سود ورکوي. ستاسو سپما به د ۱۵ کلونو وروسته څومره ارزښت ولري؟
پینیلیسیان
ارزښتونه وپیژنئ:
– \( N_0 \) = ۱۰۰،۰۰۰
– \( k \) = په کال کې ۲٪ = ۰.۰۲
– \( t \) = ۱۰ کاله
د احتمالي ودې فورمول کارول:
\[ ن(ټ) = ن_0 \سي ډاټ اي^{کټ} \]
پېژندل شوي ارزښتونه دننه کړئ:
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰۰۰۰ \cdot e^{۰.۰۲ \cdot ۱۰} \]
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰۰۰۰ \cdot e^{۰.۲} \]
نږدېوالی \( e^{0.75} \) شاوخوا 2.117 دی.
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰،۰۰۰ \cdot ۱.۲۲۱۴ \]
\[ ن(۱۰) = ۱۲۲،۱۴۰ \]
نو، ستاسو د سپما ارزښت له ۱۵ کلونو وروسته نږدې ۱۰،۵۸۵ ډالر دی.
-
۳ بېلګه: د موټر ارزښت کمول
سول
د نوي ۳۰،۰۰۰ ډالرو موټر ارزښت په کال کې د ۱۲٪ په کچه په بې ساري ډول کمېږي. پنځه کاله وروسته به د موټر ارزښت څومره وي؟
پینیلیسیان
ارزښتونه وپیژنئ:
– \( N_0 \) = ۱۰۰،۰۰۰
– \( k \) = -۱۲٪ په کال کې = -۰.۱۲
– \( t \) = ۱۰ کاله
د احتمالي ودې فورمول کارول:
\[ ن(ټ) = ن_0 \سي ډاټ اي^{کټ} \]
پېژندل شوي ارزښتونه دننه کړئ:
\[ ن(۵) = ۳۰۰۰۰ \cdot e^{-۰.۱۲ \cdot ۵} \]
\[ ن(۵) = ۳۰،۰۰۰ \cdot e^{-۰.۶} \]
نږدېوالی \( e^{-0.6} \) شاوخوا 0.5488 دی.
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰،۰۰۰ \cdot ۱.۲۲۱۴ \]
\[ ن(۱۰) = ۱۲۲،۱۴۰ \]
نو، د پنځو کلونو وروسته د موټر ارزښت شاوخوا $16,464 دی.
-
د مثال څلورمه پوښتنه: د ویروسونو خپریدل
سول
یو ښار چې په لومړني نفوس کې یې ۲۰۰ کسان وو، په ویروس اخته کیږي چې د ورځې ۱۵٪ وده کوي. د ۷ ورځو وروسته د اخته کسانو ټولټال شمیر څومره دی؟
پینیلیسیان
ارزښتونه وپیژنئ:
– \( N_0 \) = ۱۰۰،۰۰۰
– \( k \) = ۱۵٪ په ورځ کې = ۰.۱۵
– \( t \) = ۷ ورځې
د احتمالي ودې فورمول کارول:
\[ ن(ټ) = ن_0 \سي ډاټ اي^{کټ} \]
پېژندل شوي ارزښتونه دننه کړئ:
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰۰۰۰ \cdot e^{۰.۰۲ \cdot ۱۰} \]
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰۰۰۰ \cdot e^{۰.۲} \]
نږدېوالی \( e^{1.05} \) شاوخوا 2.857 دی.
\[ ن(۱۰) = ۱۰۰،۰۰۰ \cdot ۱.۲۲۱۴ \]
\[ ن(۱۰) = ۱۲۲،۱۴۰ \]
نو، د ۷ ورځو وروسته د اخته شویو خلکو ټولټال شمیر شاوخوا ۵۷۱ کسان دي.
-
دا د هغو ستونزو او بحثونو مثالونه دي چې د کفایتي ودې پورې اړه لري. د کفایتي ودې ستونزو د حل کولو پوهیدل په مختلفو عملي، حقیقي نړۍ غوښتنلیکونو کې خورا ګټور کیدی شي. د کافي تمرین سره، دا مفهوم په اسانۍ سره ماسټر کیدی شي او د اړتیا سره سم پلي کیدی شي.
