د منحني سره د تنجینټ کرښې د معادلې په اړه د بحث پوښتنې مثال

سرلیک: د منحني خطونو د تنجینټ معادلو په اړه د مثال پوښتنې او بحث

پنډاهولوان

د مماس او منحني معادله په ریاضي کې یوه مهمه مفکوره ده، په ځانګړې توګه په محاسبه او تحلیلي هندسه کې. مماس او منحني یوه کرښه ده چې په یوه ځانګړي نقطه کې د مماس سره پرته له دې چې هغه قطع کړي، تماس کوي. دا کرښه په هغه نقطه کې د مماس سره ورته میلان لري. دا مقاله موخه لري چې د مماس او منحني معادله مثالونه او بحثونه وړاندې کړي، نو لوستونکي کولی شي دا مفهوم په ژوره توګه درک کړي.

تعریف او اساسي مفاهیم

مخکې لدې چې موږ د مثال ستونزو ته ورسیږو، دا ښه نظر دی چې ځینې اساسي مفاهیم بیاکتنه وکړو. د ټانجینټ کرښې معادله د منحني \( y = f(x) \) سره په نقطه \((a, f(a))\) کې د فعالیت د لومړي مشتق په کارولو سره ټاکل کیدی شي. عمومي ګامونه په لاندې ډول دي:

۱. د یوې دندې مشتق ټاکل: د دندې \( f'(x) \) لومړی مشتق \( f(x) \) ومومئ.
۲. د تدریجي (سلوپ) ټاکل: ارزښت \( x = a \) په لومړي مشتق \( f'(x) \) کې ځای په ځای کړئ ترڅو د ټانجینټ کرښې سلوپ په نقطه \( a \) کې ترلاسه کړئ.
۳. د تنجینټ کرښې معادله معلومه کړئ: د تنجینټ کرښې معادله جوړولو لپاره د \((a, f(a))\) نقطې او هغه میلان څخه کار واخلئ چې تاسو یې موندلی دی. د کرښې معادله په \( y – y_1 = m(x – x_1) \) بڼه کې لیکل کیدی شي، چیرې چې \((x_1, y_1)\) په کرښه کې یوه نقطه ده او \( m \) میلان دی.

نمونې پوښتنې او بحث

راځئ چې د خپلې پوهې د روښانه کولو لپاره د ځینو مثالي پوښتنو په اړه بحث وکړو.

بېلګه پوښتنه ۱

د منحني \( y = x^2 + 2x + 1 \) په پام کې نیولو سره. د abscissa \( x = 1 \) سره په نقطه کې د منحني سره د تنجینټ کرښې معادله معلومه کړئ.

بحث:
۱. لومړی مشتق معلوم کړئ:
\[
y = x^2 + 2x + 1
\]
د \( y \) لومړی مشتق دا دی:
\[
\frac{dy}{dx} = 2x + 2
\]

۲. په \( x = 1 \) کې تدریجي اندازه معلومه کړئ:
په لومړي مشتق کې \( x = 1 \) ځای په ځای کړئ:
\[
م = ۲(۱) + ۲ = ۴
\]

۳. د تماس نقطه ټاکل:
د \( y \) ارزښت په \( x = 1 \) کې ومومئ:
\[
y = (1)^2 + 2(1) + 1 = 4
\]
نو د تماس نقطه \( (1, 4) \) ده.

۴. د تنجینټ کرښې د معادلې ټاکل:
د کرښې معادله وکاروئ \( y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – ۱ = ۱(x – ۰)
\]
ساده کول:
\[
y – ۴ = ۴x – ۴
\]
\[
y = 4x – 4 + 4
\]
\[
y = ۴x
\]
نو، د ټانجینټ کرښې معادله \( y = 4x \) ده.

بېلګه پوښتنه ۱

د منحني \( y = \cos(x) \) په پام کې نیولو سره. د abscissa \( x = \frac{\pi}{2} \) سره په نقطه کې د منحني سره د تنجینټ کرښې معادله معلومه کړئ.

بحث:
۱. لومړی مشتق معلوم کړئ:
\[
y = \cos(x)
\]
د \( y \) لومړی مشتق دا دی:
\[
\frac{dy}{dx} = -\ګناه(x)
\]

۲. په \( x = \frac{\pi}{2} \) کې تدریجي اندازه معلومه کړئ:
په لومړي مشتق کې \( x = \frac{\pi}{2} \) ځای په ځای کړئ:
\[
m = -\ګناه\کیڼ(\frac{\pi}{2}\ښي) = -1
\]

۳. د تماس نقطه ټاکل:
د \( y \) ارزښت په \( x = \frac{\pi}{2} \ کې ومومئ):
\[
y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
نو د تماس نقطه \( \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \) ده.

۴. د تنجینټ کرښې د معادلې ټاکل:
د کرښې معادله وکاروئ \( y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 0 = -1\کیڼ(x – \frac{\pi}{2}\ښي)
\]
\[
y = -x + \frac{\pi}{2}
\]
نو، د ټانجینټ کرښې معادله \( y = -x + \frac{\pi}{2} \) ده.

بېلګه پوښتنه ۱

د منحني \( y = e^x \) په پام کې نیولو سره. د abscissa \( x = 0 \) سره په نقطه کې د منحني سره د تنجینټ کرښې معادله معلومه کړئ.

بحث:
۱. لومړی مشتق معلوم کړئ:
\[
y = e^x
\]
د \( y \) لومړی مشتق دا دی:
\[
\frac{dy}{dx} = e^x
\]

۲. په \( x = 0 \) کې تدریجي اندازه معلومه کړئ:
په لومړي مشتق کې \( x = 0 \) ځای په ځای کړئ:
\[
م = e^0 = ۱
\]

۳. د تماس نقطه ټاکل:
د \( y \) ارزښت په \( x = 0 \) کې ومومئ:
\[
y = e^0 = 1
\]
نو د تماس نقطه \( (0, 1) \) ده.

۴. د تنجینټ کرښې د معادلې ټاکل:
د کرښې معادله وکاروئ \( y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – ۱ = ۱(x – ۰)
\]
\[
y – ۱ = x
\]
\[
y = x + 1
\]
نو، د ټانجینټ کرښې معادله \( y = x + 1 \) ده.

تړل

د یوې منحني سره د تنجینټ کرښې د معادلې د ټاکلو په پوهیدو سره، موږ کولی شو ښه پوه شو چې څنګه جیومیټري او الجبرا د منحني ځانګړتیاو د سپړلو لپاره یوځای کار کوي. عمومي ګامونه د مشتق موندل، د تمایل ټاکل، او د موندل شویو ټکو او تمایل پراساس د تنجینټ کرښې د معادلې جوړول دي. هرڅومره چې تمرین ډیر وي، د دې موضوع په اړه زموږ پوهه به ژوره شي. خوشحاله زده کړه!