د فلیټ الوتکې د مساحت په محاسبه کې د انټیګرلز د پلي کولو په اړه د مثال پوښتنې او بحث
د ریاضیاتو په تدریس کې، انټیګرلز ډیری وختونه په حساب کې ورسره مخ کیږي. د انټیګرلز یو له خورا مشهورو غوښتنلیکونو څخه د منحني یا الوتکې لاندې ساحه محاسبه کول دي. دا مقاله به د څو مثالونو ستونزو په اړه بحث وکړي او د الوتکې د ساحې محاسبه کولو لپاره د انټیګرلز پلي کولو په اړه بحث وکړي.
د تیوري پیژندنه
مخکې له دې چې د مثال ستونزې ته لاړ شو، راځئ چې د انټیګرلز په کارولو سره د منحني لاندې ساحې محاسبه کولو اساسي مفهوم بیاکتنه وکړو. که موږ یو فنکشن f(x) ولرو چې په وقفه [a, b] کې دوامداره وي، نو د منحني y = f(x) لاندې ساحه د x = a څخه تر x = b پورې ده:
\[ ل = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
په هندسي لحاظ، دا پدې مانا ده چې موږ د یو ډیر پتلي مستطیل ساحه د x = a څخه تر x = b پورې لنډوو.
بېلګه پوښتنه ۱
سول
په وقفه [1, 3] کې د منحني y = x² لاندې ساحه محاسبه کړئ.
بحث
د ساحې د محاسبې لپاره، موږ انټیګرل کاروو:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
موږ د \( x^2 \) د ضد مشتق موندلو سره پیل کوو. د \( x^2 \) ضد مشتق \( \frac{x^3}{3} \) دی. بیا بشپړونکی کیږي:
\[ L = \کیڼ [ \frac{x^3}{3} \ښي]_{1}^{3} \]
په یاد ولرئ چې موږ باید د انټیګرل په حدودو کې انټي ډیریویټیو ارزونه وکړو:
\[ L = \کیڼ ( \frac{3^3}{3} \ښي) – \کیڼ ( \frac{1^3}{3} \ښي) \]
\[ ل = \کیڼ ( \frac{27}{3} \ښي) – \کیڼ ( \frac{1}{3} \ښي) \]
\[ L = ۴ – \frac{1}{9} \]
\[ ل = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ ل = \frac{26}{3} \]
نو، د y = x² منحني لاندې ساحه د x = 1 څخه تر x = 3 پورې ده:
\[ \frac{26}{3} \، \متن{د ساحې واحد} \]
بېلګه پوښتنه ۱
سول
د هغه سیمې مساحت معلوم کړئ چې د y = x³ منحني او x = 1 او x = 2 کرښو سره تړلې وي.
بحث
د ساحې د محاسبې لپاره، موږ انټیګرل کاروو:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
د معمول په څیر، موږ د \( x^3 \) د انټي ډیریویټیو موندلو سره پیل کوو. د \( x^3 \) انټي ډیریویټیو \( \frac{x^4}{4} \) دی. انټیګرل کیږي:
\[ L = \کیڼ [ \frac{x^4}{4} \ښي]_{1}^{2} \]
د انټیګرل حدود ارزونه وکړئ:
\[ L = \کیڼ ( \frac{2^4}{4} \ښي) – \کیڼ ( \frac{1^4}{4} \ښي) \]
\[ ل = \کیڼ ( \frac{16}{4} \ښي) – \کیڼ ( \frac{1}{4} \ښي) \]
\[ L = ۴ – \frac{1}{4} \]
\[ ل = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ ل = \frac{15}{4} \]
نو، د y = x³ منحني لاندې ساحه د x = 1 څخه تر x = 2 پورې ده:
\[ \frac{15}{4} \، \متن{د ساحې واحد} \]
بېلګه پوښتنه ۱
سول
د x = 0 څخه تر x = 1 پورې په وقفه کې د y = x² + 1 او y = 2x + 2 منحنی خطونو سره تړلې سیمې ساحه معلومه کړئ.
بحث
لومړی، موږ باید د تقاطع نقطې ومومو ترڅو د ادغام حدود وټاکو. د \( x^2 + 1 = 2x + 2 \) حل:
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
د څلور اړخیز فورمول کارول:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = ۱ \pm \sqrt{2} \]
په هرصورت، د 0 او 1 ترمنځ د لوړو او ښکته حدودو لپاره، موږ اړتیا نلرو چې د څلور اړخیز حل څخه کار واخلو، یوازې د 0 څخه تر 1 پورې عادي بشپړ حد. بیا، د دې حدودو سره سم د پورتنۍ y منحني ساحه محاسبه کړئ او د ښکته y منحني څخه منفي کړئ:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
د دندې ساده کول:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
بیا، موږ انټي ډیریویټیو پیدا کوو:
د \( (-x^2) \) ضد مشتق \( -\frac{x^3}{3} \) دی،
د \( (2x) \) ضد مشتق \( x^2 \) دی،
د \( (1) \) ضد مشتق \( x \) دی.
نو داسې،
\[ L = \کیڼ اړخ. \کیڼ اړخ(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \ښی) \ښی اړخ|_0^1 \]
راتلونکې ارزونه:
\[ L = \کیڼ [ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \ښي] – \کیڼ [ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \ښي] \]
\[ L = \کیڼ [ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \ښي] – \کیڼ [ 0 \ښي] \]
\[ ل = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ ل = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ ل = \frac{5}{3} \]
نو، د سیمې مساحت چې د y = x² + 1 او y = 2x + 2 منحنی سره په وقفه [0, 1] کې تړل شوی دی:
\[ \frac{5}{3} \، \متن{د ساحې واحد} \]
-
د پورته مثالونو څخه، موږ لیدلی شو چې څنګه د انټیګرلز څخه د یوې منحني لاندې یا د دوو منحني ترمنځ ساحه محاسبه کولو لپاره کار اخیستل کیدی شي. د انټیګرلز او انټي ډیریویټیو تخنیکونو د اساسي مفاهیمو په سمه پوهیدو سره، د دې ساحو محاسبه خورا منظم او مؤثره کیږي. هیله ده چې دا مقاله په ریښتینې نړۍ کې د انټیګرلز د پلي کولو په اړه زموږ پوهه زیاته کړې وي، په ځانګړې توګه د الوتکې د سطحو د ساحې اندازه کولو په برخه کې.
