په فزیک کې د انټیګرلز د کارولو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې
په فزیک کې د انټیګرلز کارول یو ډیر مهم او پراخ مفهوم دی. د انټیګرلز کارول فزیک پوهانو او انجینرانو ته اجازه ورکوي چې د پیچلو طبیعي پیښو مختلف ډولونه محاسبه کړي، که هغه د حرکت، انرژۍ، ځواک، یا نورو اړخونو پورې اړه ولري. دا مقاله به د څو مثالونو ستونزې وپلټي او په فزیک کې د انټیګرلز کارولو په اړه به بحث وکړي.
۱. د متغیر ځواک له مخې د کار محاسبه کول
سول
هغه قوه چې د موقعیت سره توپیر لري د \(x\) لخوا ورکول کیږي \( F(x) = 3x^2 \). د دې قوې لخوا ترسره شوي کار محاسبه کړئ کله چې شی د \(x = 0\) څخه \(x = 2 \) مترو ته حرکت کوي.
بحث
هغه کار چې د بدلیدونکي قوې لخوا ترسره کیږي د واټن په اوږدو کې د قوې بشپړوالی دی. که چیرې قوه \( F(x) \) د موقعیت د فعالیت په توګه \(x\) ورکړل شي، موږ کولی شو کار په لاندې ډول څرګند کړو:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
په دې حالت کې:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \، \متن{متن} \]
\[ ب = ۲ \، \متن{متن} \]
بیا کار \(W\) دا دی:
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
موږ دا بشپړ محاسبه کوو:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= ۳ \کیڼ [ \frac{x^3}{3} \ښي]_{0}^{2}
= ۳ \کیڼ ( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \ښي)
= ۳ \کیڼ ( \frac{8}{3} – 0 \ښي)
= ۸ \، \متن{جول}
\]
نو، د قوې لخوا ترسره شوی کار 8 جول دی.
۲. د یو همجنس راډ د کتلې مرکز محاسبه کول
سول
یو همجنس راډ چې اوږدوالی یې \(L\) دی د x محور په اوږدو کې د \( x = 0 \) څخه تر \( x = L \) پورې موقعیت لري. د راډ د کتلې د مرکز موقعیت محاسبه کړئ.
بحث
د یو همجنسي راډ لپاره، کتله د هغې د اوږدوالي په اوږدو کې په مساوي ډول ویشل کیږي. موږ کولی شو فرض کړو چې راډ یو ثابت خطي ډله \(\lambda\) (د هر واحد اوږدوالي ډله) لري.
د کتلې مرکز (\(x_{cm}\)) د لاندې په واسطه ورکول کیږي:
\[ x_{سانتي متره} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
څرنګه چې ډله په یوشان ډول ویشل شوې ده، موږ کولی شو \(dm = \lambda \, dx\)، او د \(x = 0\) څخه \(x = L\) ته د سرحد بشپړتیا څرګند کړو:
\[
x_{سانتي متره} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
په \(\lambda\) باندې ادغام ثابت دی او بیرته راګرځیدلی شي:
\[
x_{سانتي متره} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\کیڼ[ \frac{x^2}{2} \ښي]_{0}^{L}}{ \کیڼ[ x \ښي]_{0}^{L} }
= frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
نو، د راډ د کتلې د مرکز موقعیت په \( \frac{L}{2} \) یا د راډ په مینځ کې دی.
۳. د کولمب د قانون پر بنسټ د الکتروسټاتیک ځواک محاسبه کول
سول
دوه چارجونه \(q_1\) او \(q_2\) په ترتیب سره د x محور په اوږدو کې په \(x = 0\) او \(x = L\) کې موقعیت لري. د دواړو چارجونو ترمنځ الکتروسټاتیک ځواک محاسبه کړئ.
بحث
د کولمب قانون وايي چې د دوو نقطو چارجونو ترمنځ قوه د چارجونو د محصول سره مستقیم متناسب ده او د دوی ترمنځ د واټن مربع سره معکوس متناسب ده:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
چیرته:
– \(k_e\) د کولمب ثابت دی \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) د چارجونو ترمنځ واټن دی
په دې حالت کې، \(q_1\) او \(q_2\) په \(x = 0\) او \(x = L\) کې موقعیت لري، بیا واټن \(r = L\).
الکتروسټاتیک ځواک دا دی:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
دا د دوو نقطو چارجونو ترمنځ چې په یوه ټاکلي واټن کې ځای پر ځای شوي د الکتروسټاتیک ځواک محاسبه کولو لپاره یو عام کارول شوی حل دی.
۴. د مقناطیسي جریان محاسبه کول
سول
د شعاع \(r\) ګرد تار لرونکی حلقه په یو یونیفورم مقناطیسي ساحه \(B\) کې ځای پر ځای شوې ده، کوم چې د حلقې د الوتکې سره عمودي ده. د حلقې له لارې مقناطیسي جریان محاسبه کړئ.
بحث
د مقناطیسي ساحې \(B\) کې د یوې ساحې \(A\) له لارې مقناطیسي جریان (\(\Phi_B\)) د لاندې لخوا ورکول کیږي:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
څرنګه چې مقناطیسي ساحه \(B\) د لوپ د الوتکې سره یوشان او عمودي ده، نو ساده انټیګرل کیږي:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
چیرې چې د یوې دایرې مساحت \(A\) د شعاع \(r\) سره وي:
\[ الف = \پای r^2 \]
بیا د حلقې له لارې مقناطیسي جریان دا دی:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
نو، د حلقې له لارې مقناطیسي جریان \( B \pi r^2 \) دی.
پایله
په فزیک کې د انټیګرلز کارول ناگزیر دي کله چې موږ د پیچلو طبیعي پیښو پورې اړوند معلومات محاسبه کوو. د متغیر ځواک لخوا ترسره شوي کار محاسبه کولو څخه، د یو شی د ډله ایز مرکز ټاکلو څخه، د کولمب قانون پراساس د الکتروسټاتیک ځواکونو محاسبه کولو څخه، په مقناطیسي ساحه کې د تار د حلقې له لارې د مقناطیسي جریان محاسبه کولو پورې، ټول د ستونزو حل کولو لپاره په انټیګرلز تکیه کوي. د مختلفو فزیک شرایطو کې د انټیګرلز کار کولو په اړه بشپړه پوهه نه یوازې د ستونزې حل کول ساده کوي بلکه د مالیکولر کچې او کهکشان په کچه د کایناتو میخانیکونو ته ژور بصیرت هم چمتو کوي.
