د مثلثي نسبتونو د کارولو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې
مثلثات د ریاضیاتو یوه څانګه ده چې د مثلثونو د اړخونو او زاویو ترمنځ اړیکې مطالعه کوي. د مثلثاتو پوهیدل خورا مهم دي ځکه چې دا په ډیری وختونو کې په مختلفو برخو کې کارول کیږي، پشمول د معمارۍ، انجینرۍ، ستورپوهنې، او حتی کریپټوګرافي. دا مقاله به د څو مثالونو ستونزو په اړه بحث وکړي او د مثلثاتو تناسب کارولو په شرایطو کې به یې بحث وکړي.
د مثلثاتو اساسي مفاهیم
مخکې له دې چې د مثال ستونزو ته ورسیږو، راځئ چې د مثلثاتو ځینې اساسي مفاهیم بیاکتنه وکړو. په یوه سم مثلث کې، درې اصلي مثلثي دندې شتون لري چې ډیری وختونه کارول کیږي: ساین، کوزین، او ټانګینټ.
- د یوې زاویې ساین (ګناه) د زاویې د مخالف اړخ د اوږدوالي او د فرضي اوږدوالي تناسب دی.
\[
\ګناه \theta = \frac{\متن{مخکنی اړخ}}{\متن{هیپوټینوز}}
\]
- د یوې زاویې کوزین (cos) د زاویې سره نږدې د اړخ اوږدوالی او د فرضي اوږدوالي تناسب دی.
\[
\cos \theta = \frac{\text{ګډ اړخ}}{\text{هایپوتینوز}}
\]
- د یوې زاویې تنجینټ (تان) د زاویې مخالف اړخ اوږدوالی او د زاویې سره نږدې اړخ اوږدوالی تناسب دی.
\[
\تان \تیټا = \فریک{\متن{مخکې اړخ}}{\متن{اړخ اړخ}}
\]
د مثال لومړۍ پوښتنه: د برج لوړوالی محاسبه کول
پوښتنه: یو څارونکی د برج څخه ۵۰ متره لرې ولاړ دی او د برج د سر د لوړوالي زاویه ۳۰ درجې اندازه کوي. د برج لوړوالی معلوم کړئ.
حل: د دې ستونزې د حل لپاره، موږ کولی شو په مثلثاتو کې د ټانجینټ فعالیت وکاروو. څرنګه چې موږ د لوړوالي زاویه او د څارونکي څخه تر برج پورې افقي واټن پوهیږو، موږ کولی شو ولیکو:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{د برج لوړوالی}}{\text{افقي واټن}}
\]
پیژندل شوي ارزښتونه بدل کړئ:
\[
\تان ۳۰^\سرکل = \frac{h}{۵۰}
\]
دا معلومه ده چې \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}})، نو له همدې امله:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
بیا د برج لوړوالی، \(h\)، د معادلې دواړه خواوې د 50 سره ضرب کولو سره موندل کیدی شي:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \تقریبا 28.87 \, \متن{متن}
\]
د برج لوړوالی شاوخوا ۲۸.۸۷ متره دی.
د مثال پوښتنه ۲: د کوزین په کارولو سره د واټن ټاکل
پوښتنه: یوه کښتۍ ۱۰ کیلومتره ختیځ ته ځي، بیا ۶۰ درجې شمال ته لاره بدلوي او ۱۵ کیلومتره سفر کوي. د پیل ځای څخه تر کښتۍ پورې واټن معلوم کړئ.
بحث: د دې ستونزې د حل لپاره، موږ کولی شو د مثلثاتو په برخه کې د کوزین قاعده وکاروو. که موږ د کښتۍ سفر په همغږۍ سیسټم کې پلان کړو، موږ یو مثلث پیدا کوو چې د 10 کیلومتره او 15 کیلومتره اړخونو سره، او د 60 درجو زاویه لري. موږ کولی شو د کوزین قاعده وکاروو ترڅو د کښتۍ د پیل ټکي او د هغې وروستي موقعیت ترمنځ واټن ومومئ.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
چیرته:
– \( الف = ۱۰ \)
– \( ب = ۱۵ \)
– \( C = 60^\سرک \)
پیژندل شوي ارزښتونه بدل کړئ:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ
\]
موږ پوهیږو چې \(\cos 60^\circ = 0.5\)، نو:
\[
c^2 = ۱۰۰ + ۲۲۵ – ۲ \cdot ۱۰ \cdot ۱۵ \cdot ۰.۵
\]
\[
ج^۲ = ۱۰۰ + ۲۲۵ – ۱۵۰
\]
\[
ج ^ ۲ = ۱۷۵
\]
\[
c = \sqrt{175} \تقریبا 13.23 \, \متن{کیلومتره}
\]
نو د پیل ځای څخه تر کښتۍ پورې واټن شاوخوا ۱۳.۲۳ کیلومتره دی.
د مثال دریمه پوښتنه: د مثلث د اړخونو د ټاکلو لپاره د ساین کارول
پوښتنه: په یوه مثلث کې، دوه اړخونه ۷ سانتي متره او ۱۰ سانتي متره دي، چې د دوی ترمنځ زاویه ۴۵ درجې ده. د مثلث د دریم اړخ اوږدوالی محاسبه کړئ.
بحث: موږ کولی شو د دې ستونزې د حل لپاره د ساینونو قانون وکاروو. د ساینونو په قانون کې، د مثلث لپاره چې اړخونه \(a\)، \(b\)، او \(c\) لري او د اړخونو \(a\) او \(b\) ترمنځ زاویه \(C\) لري:
\[
\frac{c}{\ګناه C} = \frac{a}{\ګناه A} = \frac{b}{\ګناه B}
\]
په هرصورت، پدې حالت کې، موږ کولی شو په مستقیم ډول د کوزائن قانون وکاروو ترڅو شیان اسانه کړو. د کوزائن قانون وایي:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
چیرته:
– \( الف = ۱۰ \)
– \( ب = ۱۵ \)
– \( C = 45^\سرک \)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)، نو چې:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = ۱۴۹ – ۷۰\sqrt{2}
\]
د \( c \) ارزښت محاسبه کول:
\[
ج \تقریبا \sqrt{149 – 70\sqrt{2}} \تقریبا 5.97 \, \متن{سانتي متره}
\]
نو، د مثلث د دریم اړخ اوږدوالی شاوخوا 5.97 سانتي متره دی.
پایله
مثلثات د مثلثونو او زاویو پورې اړوند د مختلفو ستونزو د حل لپاره خورا ګټور وسیله ده. د ساین، کوزین، ټانجینټ او د مثلثاتو د قوانینو په ښه پوهیدو سره، موږ کولی شو ډیری عملي ستونزې حل کړو. دا مقاله د مثلثاتو د تناسب کارولو څو مثالونو په اړه بحث کوي، کوم چې موږ هیله لرو چې لوستونکو سره به د دوی د پوهې په لا پراختیا کې مرسته وکړي.
