د تشبیهاتي زوال په اړه د مثالونو پوښتنې او بحث
د کفایتي تخریب یوه طبیعي پدیده ده چې په مختلفو څانګو لکه فزیک، کیمیا، بیولوژي او اقتصاد کې موندل کیږي. د ریاضيکي ماډل په توګه، کفایتي تخریب هغه پروسه تشریح کوي چې له مخې یې یو ورکړل شوی مقدار د خپل اوسني مقدار سره په متناسب ډول کمیږي. په ریاضي کې، کفایتي تخریب عمومي بڼه تعقیبوي:
\[ ن(ټ) = ن_0 e^{-\لمبډا ټ} \]
چیرته:
– \( N(t) \) هغه مقدار دی چې په وخت کې پاتې دی \( t \),
– \( N_0 \) لومړنی شمېره ده،
– \( \lambda \) د تخریب ثابت دی (ډیری وختونه د تخریب کچه بلل کیږي)،
– \( t \) وخت دی،
– \( e \) د طبیعي لوګاریتم اساس دی (شاوخوا 2.718).
په دې مقاله کې، موږ به د دې مفهوم په ژوره پوهیدو کې د مرستې لپاره د مصرفي تخریب ستونزو ځینې مثالونه او د هغوی حل لارې په اړه بحث وکړو.
د مثال پوښتنه ۱: راډیو اکټیو تخریب
پوښتنه:
د یوې راډیو اکټیو مادې نیمایي ژوند پنځه کاله دی. که چیرې په پیل کې ۱۰۰ ګرامه ماده وای، نو ۱۵ کاله وروسته به څومره پاتې وای؟
بحث:
د راډیو اکټیو تخریب د اکسپونینشل ډیکټایف فورمول په کارولو سره ماډل کیدی شي. نیم ژوند (\( t_{1/2} \)) هغه وخت دی چې د راډیو اکټیو موادو نیمایي برخې د تخریب لپاره اړین دی. دا معلومه ده چې \( t_{1/2} = 5 \) کاله دي.
لومړی موږ باید د تخریب ثابت \( \lambda \) د فورمول سره پیدا کړو:
\[ \لامبډا = \فریک{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \لامبډا = \فریک{\ln 2}{5} \نږدې 0.1386 \متن{ کال}^{-1} \]
په دې توګه، د کفایتي تخریب فورمول دا دی:
\[ ن(ټ) = ن_0 e^{-\لمبډا ټ} \]
\[ ن(ټ) = ۱۰۰ e^{-0.1386 \ ځله ۱۵} \]
اوس، موږ ارزښت محاسبه کوو:
\[ ن(ټ) = ۱۰۰ e^{-2.079} \]
\[ ن(ټ) = ۱۰۰ ځله ۰.۱۲۵ \]
\[ ن(ټ) \تقریبا ۱۲.۵ \متن{ ګرامه} \]
نو، د ۱۵ کلونو وروسته، شاوخوا ۱۲.۵ ګرامه راډیو اکټیو مواد پاتې کیږي.
بېلګه ۲: د کپاسیټر تخریب
پوښتنه:
یو کپیسیټر چې ابتدايي چارج \( Q_0 = 200 \text{ C} \) لري په یوه سرکټ کې د خارجیدو اجازه لري. د وخت ثابت \( \tau = 4 \text{ s} \ دی). د 10 ثانیو وروسته څومره چارج پاتې کیږي؟
بحث:
د کپیسیټر چارج تخریب په صورت کې، کارول شوی اکسپونینشل ماډل دا دی:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
ورکړل شوي \( Q_0 = 200 \text{ C} \) او \( \tau = 4 \text{ s} \). موږ باید \( Q(10) \) ومومو:
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
د کفایتي ارزښتونو محاسبه کول:
\[ Q(10) = 200 \ ځله 0.0821 \]
\[ پوښتنه(۱۰) \تقریبا ۱۶.۴۲ \متن{ ج} \]
نو، د لسو ثانیو وروسته، د کپاسیټر پاتې چارج شاوخوا ۱۶.۴۲ سانتي ګراد دی.
د مثال پوښتنه ۳: کیمیاوي تخریب
پوښتنه:
یو کیمیاوي مواد د تخریب ثابت \( \lambda = 0.05 \text{ ورځې}^{-1} \) لري. څومره وخت به ونیسي چې کیمیاوي مواد د خپل اصلي مقدار څخه 25٪ ته راټیټ شي؟
بحث:
موږ د تشبیهاتي تخریب لپاره د عمومي فورمول سره پیل کوو:
\[ ن(ټ) = ن_0 e^{-\لمبډا ټ} \]
موږ غواړو چې N(t) د \( N_0 \) ۲۵٪ وي، نو له همدې امله:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
له دواړو خواوو څخه \( N_0 \) له منځه وړل:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
د طبیعي لوګاریتمونو کارول د توضیحي قضیو حل کولو لپاره:
\[ \ln 0.25 = -0.05 ټ \]
\[ -۱.۳۸۶۳ = -۰.۰۵ ټ \]
د \( t \) لپاره حل کول:
\[ ټ = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \تقریبا 27.726 \متن{ ورځې} \]
نو، د کیمیاوي موادو د لومړني مقدار ۲۵٪ ته د راټیټولو لپاره نږدې ۲۷،۷۲۶ ورځې وخت نیسي.
د مثال څلورمه پوښتنه: د باکتریا نفوس کمیدل
پوښتنه:
د باکتریا نفوس په چټکۍ سره کمیږي نو له 3 ساعتونو وروسته، نفوس د هغې د لومړني شمیر نیمایي کیږي. که چیرې لومړنی نفوس 8000 باکتریا وي، نو د 9 ساعتونو وروسته څومره باکتریا پاتې کیږي؟
بحث:
دا معلومه ده چې نیم ژوند \( t_{1/2} = 3 \) ساعته دی. لومړی موږ د تخریب ثابت \( \lambda \) پیدا کوو:
\[ \لامبډا = \فریک{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \لامبډا = \فریک{\ln 2}{3} \تقریبا 0.231 \متن{ ساعت}^{-1} \]
له هغې وروسته، موږ د exponential decay فورمول کاروو:
\[ ن(ټ) = ن_0 e^{-\لمبډا ټ} \]
\[ ن(۹) = ۸۰۰۰ e^{-۰.۲۳۱ \ ځله ۹} \]
د کفایتي ارزښتونو محاسبه کول:
\[ ن(۹) = ۸۰۰۰ e^{-۲.۰۷۹} \]
\[ ن(۹) = ۸۰۰۰ \ ځله ۰.۱۲۵ \]
\[ ن(۹) \نږدې ۱۰۰۰ \]
نو، د 9 ساعتونو وروسته، شاوخوا 1000 باکتریا به پاتې شي.
پایله
د کثافاتو د تخریب ماډل په مختلفو ساینسي او انجینري غوښتنلیکونو کې د کثافاتو پروسو پورې اړوند ستونزو حل کولو لپاره یوه مؤثره لاره وړاندې کوي. د کثافاتو ثابت، نیم ژوند، او د کثافاتو فورمولونو کارولو په څیر د بنسټیزو مفاهیمو په پوهیدو سره، موږ کولی شو د وخت په تیریدو سره په مقدار کې بدلون په نسبي اسانۍ سره محاسبه کړو. پورته بحث شوي عملي ستونزې باید موږ سره مرسته وکړي چې د کثافاتو د تخریب مفهوم په ډیرو پیچلو حالتونو کې پوه شو او پلي کړو.
