د پیچلو شمېرو په اړه د عملیاتو په اړه د پوښتنو او بحثونو مثالونه
پیچلي عددونه د حقیقي عددونو د مفهوم یوه غځونه ده چې خیالي عددونه پکې شامل دي. د پیچلي عدد عمومي بڼه a + bi ده، چیرې چې a او b حقیقي عددونه دي، او i یو خیالي واحد دی چې د i² = -1 ملکیت لري. د پیچلو عددونو عملیات اضافه، منفي، ضرب او ویش شامل دي. دا مقاله به د پیچلو عددونو په اړه د مختلفو عملیاتو لپاره څو مثالونه ستونزې او بحثونه وړاندې کړي.
د پیچلو عددونو جمع او تفریق
بېلګه پوښتنه ۱
لاندې پیچلي شمیرې اضافه کړئ: (3 + 4i) او (1 + 2i).
بحث:
د پیچلو شمېرو اضافه کول د دوی د اصلي او خیالي برخو په جلا توګه اضافه کولو سره ترسره کیږي.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
نو، د (3 + 4i) او (1 + 2i) د اضافه کولو پایله 4 + 6i ده.
بېلګه پوښتنه ۱
پیچلې شمېره (2 + 5i) له (6 + 3i) څخه کم کړئ.
بحث:
د پیچلو شمېرو منفي کول د اصلي برخې او خیالي برخې په جلا توګه کمولو سره ترسره کیږي.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
نو، د (6 + 3i) څخه د (2 + 5i) کمولو پایله 4 - 2i ده.
د پیچلو عددونو ضرب
بېلګه پوښتنه ۱
لاندې پیچلي عددونه ضرب کړئ: (2 + 3i) او (4 + i).
بحث:
د پیچلو شمېرو ضرب د ویش یا رسمي ترتیباتو په کارولو سره ترسره کیږي، لکه څنګه چې په عادي الجبرا کې دوه دوه نومیالونه ضرب کیږي.
\[
(۲ + ۳i) \cdot (۴ + i) = ۲ \cdot ۴ + ۲ \cdot i + ۳i \cdot ۴ + ۳i \cdot i
\]
بیا موږ په تفصیل سره محاسبه کوو:
\[
= ۸ + ۲i + ۱۲i + ۳i^۲
\]
څرنګه چې \( i^2 = -1 \):
\[
= ۸ + ۱۴i + ۳(-۱)
\]
\[
= ۸ + ۱۴ – ۳
\]
\[
= 5 + 14i
\]
نو، د (2 + 3i) او (4 + i) ضرب کولو پایله 5 + 14i ده.
د پیچلو شمېرو ویش
بېلګه پوښتنه ۱
لاندې پیچلې شمېره تقسیم کړئ: (5 + 6i) په (2 + i).
بحث:
د مخرج د کنجوجیټ په کارولو سره د پیچلو عددونو ویش. د \(2 + i\) کنجوجیټ \(2 – i\) دی.
موږ د مخرجونو او مخرجونو شمېر د مخرجونو د ګډ په واسطه ضرب کوو:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
اوس موږ د عدد او مخرج په جلا توګه محاسبه کوو:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
د مخرجونو ضرب:
\[
(۲ + i) \cdot (۲ – i) = ۲^۲ – i^۲ = ۴ – (-۱) = ۴ + ۱ = ۵
\]
د عددونو ضرب:
\[
(۵ + ۶i) \cdot (۲ – i) = ۵ \cdot ۲ + ۵ \cdot (-i) + ۶i \cdot ۲ + ۶i \cdot (-i)
= ۸ – ۲i + ۱۲i – ۳i^۲
= ۱۰ + ۷i – ۶(-۱)
= ۱۰ + ۷i + ۶
= 16 + 7i
\]
نو، ویش دا دی:
\[
= frac{16 + 7i}{5} = frac{16}{5} + frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
نو د (5 + 6i) د (2 + i) سره د ویشلو پایله 3.2 + 1.4i ده.
اضافي بحث: د پیچلو عددونو ماډول او ترکیب
بېلګه پوښتنه ۱
د پیچلي عدد \(z = 3 + 4i\) مادول او کنجوجیټ ومومئ.
بحث:
د پیچلي عدد \(z = a + bi\) ماډول دا دی:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
د \(z = 3 + 4i\) لپاره:
\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
د پیچلي عدد \(z = a + bi\) د ګډ شکل \(z^ = a – bi\) دی.
د \(z = 3 + 4i\) لپاره:
\[
z^ = ۳ – ۴i
\]
نو د \(3 + 4i\) ماډول 5 دی، او د هغې کنجوجیټ \(3 – 4i\) دی.
پایله
پیچلي عددونه په مختلفو ریاضيکي برخو او تخنیکي غوښتنلیکونو کې مهم رول لوبوي. د پیچلو عددونو په اړه د اساسي عملیاتو پوهیدل، لکه اضافه، منفي، ضرب او ویش، د ډیرو پیچلو ستونزو په حل کې د دې مفاهیمو کارولو لپاره کلیدي ده. د مختلفو ستونزو ډولونو تمرین کول، لکه پورته تشریح شوي، به ستاسو د پوهې او مهارتونو پیاوړتیا کې مرسته وکړي چې د پیچلو عددونو سره کار کوي.
