د لږ مربع میتود د بحث پوښتنو مثال
د لږ مربع میتود (LEM) یوه احصایوي میتود دی چې د غوره مناسب کرښې موندلو لپاره کارول کیږي چې په خورا مؤثره توګه معلومات وړاندوینه کوي. دا میتود ډیری وختونه د خطي ریګریشن تحلیل کې د خپلواک او انحصاري متغیرونو ترمنځ اړیکې کشف کولو لپاره کارول کیږي. دا مقاله به د لږ مربع میتود اساسي مفاهیمو پوښښ وکړي، د مثالونو او ګام په ګام توضیحاتو سره د دې میتود د کار کولو د ژورې پوهیدو لپاره.
د لږ مربع طریقې بنسټیز مفاهیم
د لږ تر لږه مربع میتود هدف دا دی چې د مشاهده شویو ارزښتونو او د ریګریشن ماډل لخوا وړاندوینې شوي ارزښتونو ترمنځ د توپیرونو مربعونو مجموعه کمه کړي. د ساده خطي ریګریشن کرښې معادله په لاندې ډول لیکل کیدی شي:
\[ y = a + bx \]
چیرته:
– \( y \) یو انحصاري متغیر دی،
– \( x \) خپلواک متغیر دی،
– \( a \) هغه وقفه ده (د \( y \) ارزښت کله چې \( x = 0 \) وي)،
– \( b \) د کرښې ميلان دی (ميدان، يا د ريګريشن ضريب).
د لږ تر لږه مربع میتود هغه پیرامیټرې اټکل کوي \( a \) او \( b \) چې لاندې فعالیت کموي:
\[ \متن{SSE} = \ټول_{i=1}^{n} (y_i – \خولۍ{y_i})^2 \]
چیرته چې SSE د مربع غلطیو مجموعه ده، \( y_i \) اصلي ارزښت دی، او \( \hat{y_i} = a + bx_i \) وړاندوینه شوی ارزښت دی.
د لږ تر لږه مربع طریقې مرحلې
د مفهوم د روښانه کولو لپاره، موږ به د یوې بیلګې ستونزه حل کړو چې د لږترلږه مربع میتود کارول پکې شامل دي.
د ستونزو مثال
د لاندې معلوماتو په پام کې نیولو سره:
| x (د زده کړې ساعتونه) | y (د ازموینې نمرې) |
|——————–|——————–|
| ۸ | ۹۰ |
| ۸ | ۹۰ |
| ۸ | ۹۰ |
| ۸ | ۹۰ |
| ۱۰ | ۱۰۳ |
هغه خطي ریګریشن کرښه مشخص کړئ چې د معلوماتو سره غوره مناسبه وي.
بحث
۱. د \( \bar{x} \) او \( \bar{y} \) اوسط محاسبه کول
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\بار{y} = \فراس{\جمع y_i}{n} = \فراس{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
۲. د پیرامیټر محاسبه کول \( b \) (سلوپ)
پیرامیټر \( b \) د لاندې په واسطه محاسبه کیږي:
\[
ب = \frac{\جمع (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\جمع (x_i – \bar{x})^2}
\]
د هرې برخې محاسبه کول:
\[
\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-۴)(-۱۲) + (-۲)(۰) + (۰)(-۲) + (۲)(۴) + (۴)(۱۰)
\]
\[
= ۹ + ۴ + ۰ + ۴ + ۹ = ۲۶
\]
\[
\ مجموعه (x_i – \ بار{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-۴)^۲ + (-۲)^۲ + ۰^۲ + ۲^۲ + ۴^۲
\]
\[
= ۹ + ۴ + ۰ + ۴ + ۹ = ۲۶
\]
نو داسې:
\[
ب = \frac{96}{40} = 2.4
\]
۳. د پیرامیټر محاسبه کول \( a \) (مداخله)
د \( \bar{x} \) او \( \bar{y} \ اوسط په کارولو سره:
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = ۹۳ – ۲.۴ \وختونه ۶ = ۹۳ – ۱۴.۴ = ۷۸.۶
\]
۴. د ریګریشن لاین معادله لیکل
د موندل شویو پیرامیټرو سره، موږ کولی شو د ریګریشن کرښې معادله ولیکو:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
تفسیر او تایید
د دې لپاره چې ډاډ ترلاسه شي چې دا د بیرته راګرځولو کرښه مناسبه ده، موږ کولی شو د لومړني معلوماتو کې د هر x لپاره وړاندوینه شوی y- ارزښت (\(\hat{y}\)) محاسبه کړو، او همدارنګه د مربع غلطیو مجموعه (SSE) محاسبه کړو ترڅو د وړاندوینې دقت تایید کړو.
| x | y | \(\hat{y}\) | \(y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| ۸ | ۹۷ | ۹۷.۸ | (۹۷-۹۷.۸)^۲ = ۰.۶۴ |
| ۴ | ۹۳ | ۸۸.۲ | (۹۳-۸۸.۲)^۲ = ۲۳.۰۴|
| ۸ | ۹۷ | ۹۷.۸ | (۹۷-۹۷.۸)^۲ = ۰.۶۴ |
| ۸ | ۹۷ | ۹۷.۸ | (۹۷-۹۷.۸)^۲ = ۰.۶۴ |
|۱۰ |۱۰۳ |۱۰۲.۶ | (۱۰۳-۱۰۲.۶)^۲= ۰.۱۶|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
د نسبتا کوچني SSE سره، موږ کولی شو دې پایلې ته ورسیږو چې د لږترلږه مربع میتود لخوا تولید شوی د ریګریشن کرښه د دې معلوماتو لپاره ښه مناسبه ده.
پایله
د لږ تر لږه مربع میتود د احصایوي تحلیل یوه پیاوړې وسیله ده چې د ډیټاسیټ لپاره د غوره مناسبې کرښې ټاکلو لپاره، د انحرافاتو د مربع پراساس د وړاندوینې تېروتنه کموي. د اوسط محاسبه کولو، د سلپ او مداخلې اټکل کولو، او د ریګریشن لاین معادلې لیکلو او تایید کولو مرحلو په کارولو سره، موږ کولی شو د خپلواک متغیرونو څخه د انحصاري متغیر ارزښت په سمه توګه وړاندوینه وکړو.
د دې میتود ښه پوهه د اقتصاد، بایو احصایې، انجینرۍ، او ټولنیزو علومو په څیر برخو کې خورا ګټوره ده چیرې چې د ریګریشن تحلیل ډیری وختونه کارول کیږي. دا مقاله، د مشخصو مثالونو سره، د معلوماتو تحلیل کې د دې میتودولوژي اهمیت او ګټورتوب روښانه کوي.
