د محصول د شیبې د اړیکې په اړه د مثال پوښتنې او بحث
د محصول-لمحې اړیکه، چې د پیرسن اړیکې په نوم هم پیژندل کیږي، یوه احصایوي طریقه ده چې د دوو متغیرونو ترمنځ د خطي اړیکې د قوت او لوري اندازه کولو لپاره کارول کیږي. دا طریقه په مختلفو برخو کې ګټوره ده، د اکاډمیک څیړنې او سوداګرۍ تحلیل څخه نیولې تر طبیعي علومو کې د تجربو ارزونې پورې. دا مقاله به د محصول-لمحې اړیکې محاسبه کولو لپاره د څو مثالونو ستونزو او د هغوی د حل لارو په اړه بحث وکړي.
پنډاهولوان
مخکې لدې چې موږ د مثال پوښتنو ته ورسیږو، دا ښه نظر دی چې د محصول لمحې د ارتباط اساسي مفهوم پوه شو. عمومي فورمول چې د پیرسن د ارتباط ضریب (\(r\)) محاسبه کولو لپاره کارول کیږي دا دی:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
چیرته:
– \( n \) د معلوماتو جوړو شمیر دی.
– \( \sum{XY} \) د \( X \) او \( Y \) د محصولاتو مجموعه ده.
– \( \sum{X} \) د متغیرونو مجموعه ده \( X \).
– \( \sum{Y} \) د متغیرونو مجموعه ده \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) د متغیر \( X \) د مربعونو مجموعه ده.
– \( \sum{Y^2} \) د متغیر \( Y \) د مربعونو مجموعه ده.
د پیرسن د ارتباط ضریب (\( r \)) تل د -1 او 1 ترمنځ وي. مثبت اړیکه ښیي چې دواړه متغیرونه په ورته لوري حرکت کوي، پداسې حال کې چې منفي اړیکه ښیي چې لکه څنګه چې یو متغیر زیاتیږي، بل کمیږي. که \( r = 0 \)، نو د دوو متغیرونو ترمنځ هیڅ خطي اړیکه شتون نلري.
بېلګه پوښتنه ۱
د معلوماتو د
لاندې د پنځو زده کونکو لپاره د ریاضي او فزیک د ازموینې د نمرو معلومات دي:
| زده کوونکی | ریاضي (X) | فزیک (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| ۵ | ۸۰ | ۸۸ |
| ۵ | ۸۰ | ۸۸ |
| ۵ | ۸۰ | ۸۸ |
| ۵ | ۸۰ | ۸۸ |
| ۵ | ۸۰ | ۸۸ |
د حل لپاره ګامونه
۱. د مهمو برخو محاسبه:
– \( \جمع{X} \) = ۸۵ + ۷۸ + ۸۵ + ۷۰ + ۸۰ = ۳۹۸
– \( \جمع{Y} \) = ۹۰ + ۸۵ + ۸۰ + ۷۰ + ۸۸ = ۴۱۳
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
۲. فورمول دننه کړئ:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
۳. د پایلو محاسبه:
– شمېرونکی: \( ۵(۳۳۰۲۰) – (۳۹۸)(۴۱۳) = ۱۶۵۱۰۰ – ۱۶۴۴۷۴ = ۶۲۶ \)
- مخرج:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \تقریبا \sqrt{976856} \تقریبا 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \نږدې 0.633 \]
په دې توګه، د ریاضي او فزیک د ازموینې نمرو ترمنځ د پیرسن د اړیکو ضریب 0.633 دی، چې دا په ګوته کوي چې د دوو متغیرونو ترمنځ یو منځنی مثبت اړیکه شتون لري.
بېلګه پوښتنه ۱
د معلوماتو د
لاندې د یوې کمپنۍ د شپږو میاشتو د پلور ارزښت او اعلاناتو لګښتونو معلومات دي:
| میاشت | اعلان ورکول (X) | خرڅلاو (Y) |
|——-|————–|——————|
| ۶ | ۲۵۰۰ | ۳۲۰۰ |
| ۶ | ۲۵۰۰ | ۳۲۰۰ |
| ۶ | ۲۵۰۰ | ۳۲۰۰ |
| ۶ | ۲۵۰۰ | ۳۲۰۰ |
| ۶ | ۲۵۰۰ | ۳۲۰۰ |
| ۶ | ۲۵۰۰ | ۳۲۰۰ |
د حل لپاره ګامونه
۱. د مهمو برخو محاسبه:
– \( \sum{X} \) = ۲۰۰۰ + ۱۸۰۰ + ۲۲۰۰ + ۲۴۰۰ + ۲۳۰۰ + ۲۵۰۰ = ۱۳۲۰۰
– \( \sum{Y} \) = ۲۵۰۰ + ۲۱۰۰ + ۲۷۰۰ + ۲۹۰۰ + ۳۰۰۰ + ۳۲۰۰ = ۱۶۴۰۰
– \( \sum{XY} \) = (۲۰۰۰\ ۲۵۰۰) + (۱۸۰۰\ ۲۱۰۰) + (۲۲۰۰\ ۲۷۰۰) + (۲۴۰۰\ ۲۹۰۰) + (۲۳۰۰\ ۳۰۰۰) + (۲۵۰۰\ ۳۲۰۰) = ۵۰۰۰۰۰۰ + ۳۷۸۰۰۰ + ۵۹۴۰۰۰ + ۶۹۶۰۰۰ + ۶۹۰۰۰۰۰ + ۸۰۰۰۰۰۰ = ۳۶۵۸۰۰۰
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
۲. فورمول دننه کړئ:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
۳. د پایلو محاسبه:
– شمېرونکی: \( ۵(۳۳۰۲۰) – (۳۹۸)(۴۱۳) = ۱۶۵۱۰۰ – ۱۶۴۴۷۴ = ۶۲۶ \)
- مخرج:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \تقریبا \sqrt{9343200000000} \تقریبا 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \نږدې 0.981 \]
په دې توګه، د اعلاناتو لګښتونو او د پلور ارزښت ترمنځ د پیرسن د اړیکو ضریب 0.981 دی، چې دا په ګوته کوي چې د دوو متغیرونو ترمنځ خورا قوي مثبت اړیکه شتون لري.
پایله
د پیرسن ارتباط ضریب (\(r\)) د دوو متغیرونو ترمنځ د خطي اړیکو د پوهیدو لپاره خورا ګټور وسیله ده. په ورکړل شویو مثالونو کې، موږ ګورو چې څنګه د \(r\) ارزښت محاسبه کړو او تشریح یې کړو. لوړ ارتباط (1 یا -1 ته نږدې) یو قوي اړیکه ښیي، پداسې حال کې چې ټیټ ارتباط (0 ته نږدې) یو کمزوری اړیکه ښیي. دا مهمه ده چې په یاد ولرئ چې ارتباط د لامل په معنی نه دی؛ دا په ساده ډول دا په ګوته کوي چې د دوو متغیرونو ترمنځ اړیکه شتون لري.
