د مثال په توګه د هغو پوښتنو چې د ماډولونو د ترکیب او د پیچلو عددونو د استدلال او د هغوی د ملکیتونو په اړه بحث کوي

د پیچلو عددونو او د هغوی د ملکیتونو د ترکیبونو، ماډولونو او دلیلونو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې

پیچلي عددونه د ریاضي یوه مهمه برخه ده، په ځانګړې توګه د پیچلي تحلیل په برخه کې. پیچلي عددونه د یوې حقیقي برخې او یوې خیالي برخې څخه جوړ شوي دي، چې معمولا د \( z = a + bi \) په بڼه څرګندیږي، چیرې چې \( a \) او \( b \) حقیقي عددونه دي او \( i \) هغه خیالي واحد دی چې د \( i^2 = -1 \) قناعت کوي. د پیچلو عددونو د ژورې پوهیدو لپاره، موږ اړتیا لرو چې د پیچلو عددونو د کنجوګیټ، ماډول او استدلال مفکورې او د هغوی ملکیتونه وپیژنو.

د پیچلو عددونو ترکیب

د پیچلي عدد \( z = a + bi \) کنجوجیټ \( \overline{z} = a – bi \) دی. د پیچلي عدد کنجوجیټ د خیالي برخې نښه بدلوي پرته لدې چې د اصلي برخې نښه بدله کړي.

د کنجوګیټس ځانګړتیاوې

۱. \( \اوور لاین{\اوور لاین{z}} = z \)
- د یوې پیچلې عدد د کنجوجیټ کنجوجیټ پخپله پیچلې عدد دی.
۲. \( \اوور لاین{ز + w} = \اوور لاین{ز} + \اوور لاین{ز} \)
- د دوو پیچلو عددونو د مجموعې کنجوجیټ د هر پیچلي عدد د کنجوجیټونو مجموعه ده.
۳. \( \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \)
- د دوو پیچلو عددونو د محصول کنجوجټ د هر پیچلي عدد د کنجوجټ محصول دی.
۴. \( \اوور لاین{\کیڼ( \dfrac{z}{w} \ښي)} = \dfrac{\اوور لاین{z}}{\اوور لاین{w}} \)
- د دوو پیچلو عددونو د ویش کنجوجیټ د دوی د اړوند کنجوجیټونو ویش دی.

د پیچلي شمېرې ماډول

د یوې پیچلې عدد ماډول \( z = a + bi \) د ویکتور اوږدوالی یا شدت دی چې په پیچلې سطحه کې \( z \) استازیتوب کوي. ماډول د \( |z| \) لخوا ښودل شوی او د فورمول لخوا محاسبه کیږي.

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

د ماډول ځانګړتیاوې

۱. \( |z| \geq 0 \)
- د یوې پیچلې عدد ماډول تل غیر منفي وي.
۲. \( |z| = 0 \که z = 0 \)
- د یوې پیچلې عدد ماډول صفر دی که چیرې او یوازې که چیرې پیچلې عدد صفر وي.
۳. \( |z \cdot w| = |z| \cdot |w| \)
- د دوو پیچلو عددونو د محصول ماډول د هر پیچلي عدد د ماډول محصول دی.
4. \(\left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{|z|}{|w|} \)، \( w \neq 0 \)
- د دوو پیچلو شمېرو د ویش ماډول د دوی د اړوند ماډولونو ویش دی.
5. \( |z + w | leq |z | + | w | \)
- د یوې پیچلې عدد د ماډول لپاره د مثلث نابرابري.

د پیچلو شمېرو دلیلونه

د یوې پیچلې عدد \( z = a + bi \) دلیل هغه زاویه ده چې ویکتور یې \( z \) استازیتوب کوي او په پیچلي الوتکه کې د مثبت اصلي محور سره جوړوي. دلیل د \( \arg(z) \) لخوا ښودل شوی او معمولا په راډیانونو کې څرګندیږي.

د دلیلونو ځانګړتیاوې

1. \( \arg(z^n) = n \cdot \arg(z) \)
- د یوې پیچلې عدد دلیل چې قوت ته لوړ شوی د پیچلې عدد دلیل سره د قوت ضرب کولو پایله ده.
۲. \( \arg\left(\dfrac{z}{w}\right) = \arg(z) – \arg(w) \)
- د دوو پیچلو شمېرو د ویش دلیل د عدد او حرف د دلیلونو ترمنځ توپیر دی.

نمونې پوښتنې او بحث

ستونزه ۱: د پیچلو شمېرو ترکیبونه
د پیچلي عدد \( z = 3 + 4i \) د نښلوونکی پیدا کړئ.

بحث:
د \( z \) کنجوجیټ \( \overline{z} = 3 – 4i \) دی.

دوهمه پوښتنه: د پیچلو شمېرو ماډول
د پیچلي عدد \( z = 1 – i \) ماډول محاسبه کړئ.

بحث:
\[ |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

پوښتنه ۳: د پیچلو عددي دلیلونو
د پیچلي عدد \( z = -1 + \sqrt{3}i \) دلیل معلوم کړئ.

بحث:
د دلیل موندلو لپاره، موږ باید هغه زاویه ومومو چې د \( z \) لخوا په پیچلي الوتکه کې جوړه شوې ده.

پیچلی عدد \( -1 + \sqrt{3}i \) په څلورمه ربع II کې دی.

\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{-1}\right) + \pi = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) + \pi \]

موږ پوهیږو چې \( \tan(\dfrac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\)، نو

\"arg(z) = \dfrac{2\pi}{3} \]

څلورمه پوښتنه: د پیچلو شمېرو ضرب
محصول \( z_1 = 2 + 3i \) او \( z_2 = 1 – i \) مشخص کړئ، او د محصول ماډول محاسبه کړئ.

بحث:

\[ z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 – i) = 2 + 2i – 3i – 3i^2 = 2 – i + 3 = 5 – i \]

د \( z_1 \cdot z_2 \) ماډول:

\"5 – i| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]

پایله

پیچلي عددونه په ریاضي او انجینرۍ کې یو بنسټیز مفهوم دی. د کنجوګیټ، ماډول او استدلال په پوهیدو سره، موږ کولی شو پیچلي عددونه په ډیر اغیزمن ډول درک او اداره کړو. د کنجوګیټ، ماډول او استدلال ځانګړتیاوې د ساینس په مختلفو څانګو کې د نورو تحلیلونو او پراخو غوښتنلیکونو لپاره پیاوړي وسایل چمتو کوي. د وړاندې شویو مثالونو له لارې، هیله کیږي چې لوستونکي به په مختلفو شرایطو کې د پیچلو عددونو کارولو ښه پوهه او مهارت ترلاسه کړي.