د ګډ بحث پوښتنو مثال
ترکیبونه د احتمال تیوري او احصایې کې یو مهم مفهوم دی، چې موږ ته اجازه راکوي چې د ترتیب په پام کې نیولو پرته د سیټ څخه د شیانو د غوره کولو لپاره د لارو شمیر وشمېرو. په ترکیبونو کې، د انتخاب ترتیب بدل نه پاتې کیږي، د ترتیبونو برعکس، چیرې چې د انتخاب ترتیب کلیدي دی. ترکیبونه په پراخه کچه برخو کې کارول کیږي، د کمپیوټر ساینس او بیولوژي څخه تر اقتصاد او ریاضي پورې. دا مقاله به د ترکیبونو اساسي مفهوم تشریح کړي او ستاسو د پوهیدو سره د مرستې لپاره به څو مثالونه ستونزې او بحثونه وړاندې کړي.
د ترکیب اساسي مفهوم
مخکې لدې چې موږ د مثال ستونزو ته لاړ شو، راځئ چې د ترکیبونو د اساسي پوهې سره پیل وکړو.
د \(n\) شیانو ترکیب چې په یو وخت کې \(r\) اخیستل شوي د \(\binom{n}{r}\) یا \(\mathbf{C}(n, r)\) په نوم یادیږي. د ترکیب محاسبه کولو فورمول دا دی:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \( n \) د شته شیانو ټولټال شمیر دی.
– \( r \) د هغو شیانو شمیر دی چې باید غوره شي.
– ! (فکټوریل) یو ریاضيکي عملیات دی چې یو عدد د هغې لاندې ټولو مثبتو عددونو سره تر ۱ پورې ضربوي.
نمونې پوښتنې او بحث
د مثال لومړۍ پوښتنه: د زده کونکو له یوې ډلې څخه د ټیم غوره کول
پوښتنه:
په یوه ټولګي کې ۱۰ زده کوونکي دي. په څو لارو کولی شو له ټولګي څخه ۴ زده کوونکي په سیالۍ کې د ګډون لپاره غوره کړو؟
بحث:
د ترکیب فورمول کارول:
\[ \بنوم{۱۲}{۵} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ (۱۲-۵)!} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ ۷!} \]
د فکټوریل محاسبه کول:
– \( ۱۰! = ۱۰ \ ځله ۹ \ ځله ۸ \ ځله ۷ \ ځله ۶! \)
– \( ۴! = ۴ \ ځله ۳ \ ځله ۲ \ ځله ۱ = ۲۴ \)
– \( 6! \) لا دمخه په سر کې دی، نو دا کولی شي 6! په \(10!\) کې لغوه کړي.
نو:
\[ \بنوم{10}{4} = \frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
نو، د لسو زده کونکو څخه د څلورو زده کونکو د غوره کولو لپاره ۲۱۰ لارې شتون لري.
د مثال پوښتنه ۲: د کارت سیټونو کارول ترکیبونه
پوښتنه:
د ۵۲ کارتونو له ډیک څخه، د ۵ کارتونو پوکر لاس غوره کولو لپاره څو لارې شتون لري؟
بحث:
د ترکیب فورمول کارول:
\[ \بنوم{۱۲}{۵} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ (۱۲-۵)!} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ ۷!} \]
د فکټوریل محاسبه کول:
– \( ۵۲! = ۵۲ \ ځله ۵۱ \ ځله ۵۰ \ ځله ۴۹ \ ځله ۴۸ \ ځله ۴۷! \)
– \( ۵! = ۵ \ ځله ۴ \ ځله ۳ \ ځله ۲ \ ځله ۱ = ۱۲۰ \)
– \( 47! \) لا دمخه په سر کې دی، نو دا کولی شي 47! په \(52!\) کې لغوه کړي.
نو:
\[ \بنوم{۱۲}{۵} = \frac{۱۲\وختونه ۱۱\وختونه ۱۰\وختونه ۹\وختونه ۸}{۵\وختونه ۴\وختونه ۳\وختونه ۲\وختونه ۱} = \frac{۹۵۰۴۰}{۱۲۰} = ۷۹۲ \]
نو، د ۵۲ کارتونو څخه د ۵ کارتونو غوره کولو لپاره ۲،۵۹۸،۹۶۰ لارې شتون لري.
۳ بېلګه: د سپورت ټیم انتخاب لپاره د ترکیبونو محاسبه کول
پوښتنه:
د باسکیټبال یوه لوبډله ۱۵ لوبغاړي لري. که چیرې روزونکی وغواړي چې ۵ لوبغاړي د پیل کونکو په توګه وټاکي، نو دا په څو لارو ترسره کیدی شي؟
بحث:
د ترکیب فورمول کارول:
\[ \بنوم{۱۲}{۵} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ (۱۲-۵)!} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ ۷!} \]
د فکټوریل محاسبه کول:
– \( ۵۲! = ۵۲ \ ځله ۵۱ \ ځله ۵۰ \ ځله ۴۹ \ ځله ۴۸ \ ځله ۴۷! \)
– \( ۵! = ۵ \ ځله ۴ \ ځله ۳ \ ځله ۲ \ ځله ۱ = ۱۲۰ \)
– \( 10! \) لا دمخه په سر کې دی، نو دا کولی شي 10! په \(15!\) کې لغوه کړي.
نو:
\[ \بنوم{۱۲}{۵} = \frac{۱۲\وختونه ۱۱\وختونه ۱۰\وختونه ۹\وختونه ۸}{۵\وختونه ۴\وختونه ۳\وختونه ۲\وختونه ۱} = \frac{۹۵۰۴۰}{۱۲۰} = ۷۹۲ \]
نو، د ۱۵ لوبغاړو څخه د ۵ لوبغاړو د غوره کولو لپاره ۳،۰۰۳ لارې شتون لري.
د مثال څلورمه پوښتنه: په بیولوژي کې ترکیبونه
پوښتنه:
په یوه باغ کې ۸ ډوله ګلونه شتون لري. د ګلونو د ترتیب لپاره په څو لارو ۳ ډوله ګلونه غوره کیدی شي؟
بحث:
د ترکیب فورمول کارول:
\[ \بنوم{۱۲}{۵} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ (۱۲-۵)!} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ ۷!} \]
د فکټوریل محاسبه کول:
– \( ۸! = ۸ \ ځله ۷ \ ځله ۶ \ ځله ۵! \)
– \( ۳! = ۳ \ ځله ۲ \ ځله ۱ = ۶ \)
– \( 5! \) لا دمخه په سر کې دی، نو دا کولی شي 5! په \(8!\) کې لغوه کړي.
نو:
\[ \بنوم{۸}{۳} = \فراس{۸\وختونه ۷\وختونه ۶}{۳\وختونه ۲\وختونه ۱} = \فراس{۳۳۶}{۶} = ۵۶ \]
نو، د 8 ډوله ګلونو څخه د 3 ډوله ګلونو غوره کولو لپاره 56 لارې شتون لري.
د مثال پنځمه پوښتنه: د ټیم جوړونې کې ترکیب
پوښتنه:
تاسو په یوه المارۍ کې ۱۲ مختلف کتابونه لرئ. تاسو په څو لارو کولی شئ له ۱۲ کتابونو څخه ۵ غوره کړئ؟
بحث:
د ترکیب فورمول کارول:
\[ \بنوم{۱۲}{۵} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ (۱۲-۵)!} = \فراس{۱۲!}{۵! \سي ډاټ ۷!} \]
د فکټوریل محاسبه کول:
– \( ۵۲! = ۵۲ \ ځله ۵۱ \ ځله ۵۰ \ ځله ۴۹ \ ځله ۴۸ \ ځله ۴۷! \)
– \( ۵! = ۵ \ ځله ۴ \ ځله ۳ \ ځله ۲ \ ځله ۱ = ۱۲۰ \)
– \( 7! \) لا دمخه په سر کې دی، نو دا کولی شي 7! په \(12!\) کې لغوه کړي.
نو:
\[ \بنوم{۱۲}{۵} = \frac{۱۲\وختونه ۱۱\وختونه ۱۰\وختونه ۹\وختونه ۸}{۵\وختونه ۴\وختونه ۳\وختونه ۲\وختونه ۱} = \frac{۹۵۰۴۰}{۱۲۰} = ۷۹۲ \]
نو، د ۱۲ کتابونو څخه د ۵ کتابونو غوره کولو لپاره ۷۹۲ لارې شتون لري.
پایله
ترکیبونه په مختلفو برخو کې خورا ګټور مفهوم دی، په ځانګړې توګه کله چې موږ اړتیا لرو چې د ترتیب په پام کې نیولو پرته د شیانو د غوره کولو لپاره د لارو شمیر پوه شو. د اساسي ترکیب فورمول \(\binom{n}{r}} په کارولو سره، موږ کولی شو دوی په چټکۍ او اسانۍ سره محاسبه کړو، تر هغه چې موږ پوهیږو چې فکټوریلونه څنګه کار کوي. د پورته مثالونو له لارې، موږ هیله لرو چې د ترکیبونو ډیر بشپړ او روښانه پوهه ولرو. د خپلې پوهې د لا پیاوړتیا لپاره د مختلفو ستونزو سره تمرین ته دوام ورکړئ.
