د مثال په توګه د مثلثاتو تناسب tan θ کارولو په اړه بحث شوي پوښتنې
مثلثات د ریاضي یوه څانګه ده چې د مثلثونو کې د زاویو او د زاویو دندو سره معامله کوي. په مثلثاتو کې یو مهم مفهوم د زاویو مثلثات تناسب دی، لکه ساین (ګناه)، کوزین (کوس)، او ټانجینټ (تان). پدې مقاله کې، موږ به د یوې واحدې زاویې θ په ټانجینټ تمرکز وکړو، کوم چې د tan θ لخوا ښودل شوی.
د ټان θ تعریف
د ښي مثلث د زاویې θ تنجینټ د زاویې θ د مخالف اړخ اوږدوالی د زاویې θ د څنګ اړخ اوږدوالي سره تناسب دی. په ریاضي ډول، tan θ په لاندې ډول څرګندیږي:
\[ \tan \theta = \frac{\text{د زاویې مخالف اړخ θ}}{\text{د زاویې څنګ اړخ θ}} \]
د دې مفهوم د ښه پوهیدو لپاره، موږ به د ځینو مثالونو ستونزو ته لاړ شو او د tan θ کارولو په اړه به بحث وکړو.
بېلګه 1 پوښتنه: د تن θ حساب کول
په A نقطه کې د θ زاویه سره یو ښی مثلث ورکړل شوی، چیرې چې د θ زاویې مخالف اړخ 3 سانتي متره اوږدوالی لري او د θ زاویې څنګ اړخ 4 سانتي متره اوږدوالی لري. tan θ محاسبه کړئ.
حل:
د پورته ستونزو څخه، موږ پوهیږو:
– د زاویې θ (مخالف) مخالف اړخ = 3 سانتي متره
– د زاویې څنګ اړخ θ = 4 سانتي متره
د tan θ تعریف په کارولو سره، موږ محاسبه کوو:
\[ \تان \تیټا = \فریک{\متن{مخالف}}{\متن{نږدې}} \]
\[ \تان \تیټا = \فریک{3}{4} \]
نو، تان θ = 0.75.
په هندسي لحاظ، دا پدې مانا ده چې په مثلث کې د θ زاویې لپاره، د مخالف اړخ اوږدوالی د نږدې اړخ اوږدوالي سره 0.75 دی.
دوهمه بېلګه: د اړخ اوږدوالی محاسبه کولو لپاره د Tan θ کارول
یوه زینه د دیوال سره د 30 درجو لوړوالي زاویه کې تکیه کوي. د زینې له پښې څخه دیوال ته واټن 5 متره دی. زینه د دیوال سره د څومره وخت لپاره تکیه کوي؟
حل:
لومړی ګام، موږ د tan θ تعریف یادوو:
\[ \تان \تیټا = \فریک{\متن{مخالف}}{\متن{نږدې}} \]
د دې ستونزې په شرایطو کې:
– θ = ۳۰ درجې
– څنګ ته (د زینې له پښې څخه تر دیوال پورې واټن) = ۵ متره
– مخالف (د زینې لوړوالی له دیوال څخه) = ???
موږ لومړی محاسبه کوو\text{مخالف)):
\[ \تان ۳۰^\سرک = \فریک{\متن{مخالف}}{5} \]
موږ د مثلثاتو جدول څخه پوهیږو چې:
\[ \تان 30^\سرک = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
نو:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\متن{مخالف}}{5} \]
دواړه خواوې په 5 سره ضرب کړئ:
\[ \متن{مخالف} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
مخالف (د زینې څخه دیوال ته لوړوالی) دا دی:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \تقریبا 2.89 \متن{ متره} \]
نو، د زینې اوږدوالی ۵ متره دی.
۳ بېلګه: د ټان θ په کارولو سره د زاویو محاسبه کول
یو برج ۱۲ متره اوږد سیوری غورځوي. که چیرې برج ۸ متره لوړ وي، نو د لمر د لوړوالي زاویه θ څومره ده؟
حل:
په دې ستونزه کې، موږ ته ورکړل شوي دي:
– د برج لوړوالی (مخالف) = ۸ متره
– د سیوري اوږدوالی (نږدې) = ۱۲ متره
موږ د θ موندلو لپاره د tan θ تعریف کاروو:
\[ \تان \تیټا = \فراس{8}{12} = \فراس{2}{3} \]
اوس موږ د معادلې سره θ پیدا کوو:
\[ \تیټا = \تان^{-1} \کیڼ (\فریک{2}{3}\ښي) \]
د معکوس ټانجینټ ارزښت ټاکلو لپاره د جدول یا کیلکولیټر په لټه کې، موږ موندلی شو:
\[ \تیټا \تقریبا 33.69^\سرک \]
نو، د لمر د لوړوالي زاویه شاوخوا 33.69 درجې ده.
څلورمه بېلګه: د حقیقي نړۍ اړتیاوو لپاره د Tan θ پلي کول
د موټر په سر د ۴ متره په قطب کې د رڼا انعکاس کوونکی نصب شوی دی. که تاسو غواړئ یو سایرن نصب کړئ چې د ځمکې څخه د ۴۵ درجې زاویې څخه لیدل کیدی شي، نو هغه لوی واټن محاسبه کړئ چې سایرن لاهم لیدل کیدی شي.
حل:
له پوښتنې څخه دا معلومه شوه چې:
– د قطب لوړوالی (مخالف) = ۴ متره
– زاویه θ = ۴۵ درجې
د tan θ تعریف له مخې:
\[ \تان ۴۵^\سرک = \فریک{\متن{مخالف}}{\متن{نږدې}} \]
موږ پوهیږو چې \(\tan 45^\circ = 1\)، نو:
\[ ۱ = \frac{۴}{\متن{ګډ}} \]
نو:
\[ \متن{ګډ} = 4 \متن{ متره} \]
نو، تر ټولو لرې واټن چې سایرن پکې لیدل کیدی شي 4 متره دی.
پایله
د پورته مثالونو څخه، موږ ګورو چې د زاویې θ (\(\tan \theta\)) ټانجینټ یو ډیر ګټور مفهوم دی او د عملي غوښتنلیکونو پراخه لړۍ لري، په ریاضي کې د ساده ستونزو حل کولو څخه نیولې تر ورځني اړتیاو کې د هغې پلي کولو پورې، لکه په ساختماني او نیویګیشن کې. د دې مفهوم ښه پوهه کولی شي د مثلث کې د اړخونو د اوږدوالي پرتله کولو په شمول د مختلفو ستونزو حل کولو کې مرسته وکړي.
په ټولیز ډول، د مثلثاتو د یوې برخې په توګه، tan θ نه یوازې په رسمي زده کړو کې یو مهم موضوع ده بلکې د حقیقي ژوند په مختلفو اړخونو کې هم خورا ګټوره وسیله ده. هیله ده چې دا مقاله د اړوندو ستونزو د حل لپاره د tan θ کارولو څرنګوالي په اړه روښانه او ژوره کتنه وړاندې کړي.
