د یوې دایرې سره په اړیکه کې د یوې نقطې د موقعیت په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې
د یوې دایرې په نسبت د یوې نقطې موقعیت ټاکل په اساسي هندسي کې یوه مهمه موضوع ده، په ځانګړې توګه د دایرې په مطالعه کې. پدې مقاله کې، موږ به د یوې دایرې په نسبت د یوې نقطې موقعیت پورې اړوند څو مثالي ستونزې، د هغوی د توضیحاتو سره بحث وکړو. دا به د عملي غوښتنلیکونو له لارې د مفهوم روښانه کولو کې مرسته وکړي.
پنډاهولوان
مخکې له دې چې د مثال پوښتنو ته لاړ شو، راځئ چې په یوه دایره کې د یوې نقطې درې ممکنه موقعیتونه په یاد ولرو:
۱. د دایرې دننه: که چیرې د دایرې مرکز ته د یوې نقطې واټن د دایرې د شعاع څخه کوچنی وي.
۲. د دایرې څخه بهر: که چیرې د دایرې مرکز ته د نقطې واټن د دایرې د شعاع څخه ډیر وي.
۳. په یوه دایره کې: که چیرې د نقطې څخه د دایرې مرکز ته واټن د دایرې د شعاع سره ورته وي.
په ریاضيکي لحاظ، د \(T(x_1, y_1)\) نقطې موقعیت د هغه دایرې په اړه چې په \(a, b)\) کې د شعاع \(r\) سره متمرکز دی، د دایرې د معادلې سره د \(T(x_1, y_1)\) پرتله کولو سره ټاکل کیدی شي، یعنې:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
که چیرې په معادله کې د \(x_1\) او \(y_1\) د ځای پر ځای کولو پایله ارزښت ورکړي:
– د \(r^2\) څخه کوچنی، نقطه د دایرې دننه ده.
– د \(r^2\) څخه لوی، نقطه د دایرې څخه بهر ده.
– د \(r^2\) په څیر، نقطه په دایره کې ده.
نمونې پوښتنې او بحث
پوښتنه ۴
د دایرې په اړه د \((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \) معادلې سره د نقطې \(T(3, 4)\) موقعیت معلوم کړئ.
بحث:
لومړی ګام دا دی چې د دایرې معادله و ارزول شي او د \(T(3, 4)\) نقطې څخه د دایرې مرکز ته فاصله \((1, 2)\) ومومئ.
۱. د دایرې مرکز او شعاع وپیژنئ:
د یوې دایرې معادله: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
- د دایرې مرکز (\(a, b\)): (1, 2)
– د دایرې شعاع (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
۲. د نقطې \(T(3, 4)\) او د دایرې د مرکز \( (1, 2) \) ترمنځ واټن محاسبه کړئ:
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
ارزښت \( 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \) (له \(5\) څخه کم).
۳. پایله:
څرنګه چې \( 2\sqrt{2} < 5 \)، نو نقطه \( T(3, 4) \) د دایرې دننه ده. پوښتنه 2 یوه دایره په نقطه \( (0, 0) \) کې مرکز لري او شعاع یې 7 ده. د دایرې په اړه د \(P(5, 6)\) نقطې موقعیت معلوم کړئ. بحث: ۱. د حلقې معادله: د یوې دایرې معادله چې مرکز یې په (۰، ۰) او شعاع ۷ وي دا ده: \[ x^2 + y^2 = 49 \] ۲. د نقطې \( P(5, 6) \) څخه د حلقې مرکز ته د واټن محاسبه کول \( (۰، ۰): \[ D = \sqrt{(۵ - ۰)^۲ + (۶ - ۰)^۲} = \sqrt{۲۵ + ۳۶} = \sqrt{۶۱} \] د \( \sqrt{61} \تقریباً ۷.۸۱ \) ارزښت. ۳. پایله: ځکه چې \( \sqrt{61} > ۷ \)، نو نقطه \( P(5, 6) \) د حلقې څخه بهر ده.
پوښتنه ۴
د معادلې سره د دایرې په اړه د \(x^2 + y^2 = 5 \) نقطې \(M(2, -1)\) موقعیت معلوم کړئ.
بحث:
۱. د \(M(2, -1)\) نقطې څخه د دایرې مرکز ته فاصله محاسبه کړئ \( (0, 0) :
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
۲. د دایرې د شعاع سره واټن \(D\) پرتله کړئ:
د دایرې شعاع (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
۳. پایله:
څرنګه چې \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \)، نو نقطه \( M(2, -1) \) په دایره کې ده.
پوښتنه ۴
یوه دایره چې مرکز یې په \( (4, 3) \) کې وي د \(\sqrt{10}\ شعاع لري. د دې دایرې په اړه د \( N(7, 7) \) نقطې موقعیت وښایاست.
بحث:
۱. د حلقې معادله:
د یوې دایرې معادله چې مرکز \( (4, 3) \) او شعاع \( \sqrt{10} \) لري دا ده:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
۲. د نقطې \( N(7, 7) \) څخه د دایرې مرکز ته واټن محاسبه کړئ \( (4, 3) \):
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
۳. پایله:
څرنګه چې \( 5 > \sqrt{10} \)، نو نقطه \( N(7, 7) \) د دایرې څخه بهر ده.
تړل
د یوې دایرې له مرکز څخه د یوې نقطې د واټن د محاسبې او د شعاع سره د هغې د پرتله کولو په پوهیدو سره، موږ کولی شو په اسانۍ سره د دایرې په پرتله د یوې نقطې موقعیت وټاکو. تمه کیږي چې پدې مقاله کې بحث د مفهوم او د دایرې په پرتله د یوې نقطې د موقعیت پورې اړوند ستونزو د حل کولو څرنګوالي روښانه پوهه چمتو کړي.
په عمل کې، د دې ټکو موقعیت پوهیدل په مختلفو ریاضيکي غوښتنلیکونو کې خورا ګټور دي، پشمول د جیومیټریک تحلیل، ګرافیک ډیزاین، او انجینرۍ. له همدې امله، د دې مفهوم ماسټر کول یو مهم بنسټ دی چې د احتیاط پاملرنې او ژورې پوهې مستحق دی.
