د مخروطي برخو د تنجینټ په اړه د مثال پوښتنې او بحث
پنډاهولوان
مخروطي برخه هغه منحني ده چې د دوه قطبي مخروطي سره د يوې الوتکې د تقاطع څخه رامنځته کېږي. په دې منحني کې حلقې، بیضوي، پارابولا او هایپربولا شامل دي. د مخروطي برخو په پوهیدو کې یوه مهمه موضوع د تنګی کرښه ده. د مخروطي برخې ته تنګی هغه کرښه ده چې یوازې په یوه نقطه کې مخروطي منحني سره لمس کوي. دا مقاله به د څو مثالونو ستونزو او د مخروطي برخو ته د تنګیو په اړه بحث وکړي.
یوې دایرې ته تنجینټ
دایره یوه مخروطي برخه ده چې تر ټولو ساده شکل او بشپړ توازن لري. راځئ چې د یوې دایرې د لمس په اړه د یوې مثال ستونزې سره پیل وکړو.
بېلګه پوښتنه ۱
د یوې دایرې په پام کې نیولو سره چې \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) معادله ولري. د دایرې په \((5, -3)\) نقطه کې د تنجینټ کرښې معادله معلومه کړئ.
بحث
د یوې دایرې عمومي معادله \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \) ده، چې \( (h, k) \) د دایرې مرکز او \( r \) د شعاع په توګه دی. پدې ستونزه کې، د دایرې مرکز \((h, k)\) \((2, -3)\) دی او شعاع \(r = \sqrt{25} = 5 \) ده.
د دایرې په \((x_1, y_1)\) نقطه کې د تنجینټ کرښه د لاندې فورمول په کارولو سره موندل کیدی شي:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
پېژندل شوي ارزښتونه دننه کړئ:
\[ (x – 2) (5 – 2) + (y + 3) (-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ ۳(x – ۲) = ۲۵ \]
\[ ۳x – ۶ = ۲۵ \]
\[ ۲.۸۲x = ۱ \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
د تنزین کرښې معادله \(x = \frac{31}{3}\) ده، مګر پدې طریقه کې یوه تېروتنه شتون لري ځکه چې نقطه \((5, -3)\) په څرګنده توګه د دایرې په یوه نقطه کې ده. له همدې امله، موږ په دې ځانګړي نقطه کې د تنزین کرښې د میلان په ځای کولو سره دودیز میتود کاروو:
د ټانجینټ نقطه \((5, -3)\) ده، نو د شعاع کرښې تدریجي (m) \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) ده، چیرې چې د ټانجینټ کرښې تدریجي د مخکینۍ عمودي ټانجینټ لپاره نا تعریف کیږي.
د بیضوي کرښې ته د تنجینټ کرښه
بیضوي برخه یوه مخروطي برخه ده چې د هم آهنګۍ دوه محورونه لري: یو لوی (اوږد) محور او یو کوچنی (لنډ) محور. دلته د بیضوي ستونزو ځینې مثالونه دي.
بېلګه پوښتنه ۱
د یوې بیضوي معادلې سره چې \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) ده. د بیضوي په نقطه \((2, \frac{3}{2})\) کې د ټانجینټ کرښې معادله معلومه کړئ.
بحث
د ټانجینټ کرښې معادله د بیضوي \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) سره په نقطه \((x_1, y_1)\) کې ده:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
د \(a = 4\) او \(b = 3\) سره، د \(a\)، \(b\)، او ټکي \((2, \frac{3}{2})\) ارزښتونه ځای په ځای کړئ:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
ټوله معادله په 8 سره ضرب کړئ ترڅو کسرونه له منځه یوسي:
\[ x + 4y = 8 \]
نو، د بیضوي کرښې معادله \( x + 4y = 8 \) ده.
د پارابولا لپاره د تنجینټ کرښه
پارابولا یوه مخروطي برخه ده چې یو محور یې هماهنګي او یو څوکه لري. دلته د پارابولا سره د ستونزو ځینې مثالونه دي.
بېلګه پوښتنه ۱
د معادلې سره یو پارابولا ورکړل شوی \( y^2 = 4x \). د پارابولا په نقطه \((1, 2)\) کې د ټانجینټ کرښې معادله معلومه کړئ.
بحث
د پارابولا \( y^2 = 4ax \) سره د ټانجینټ کرښې معادله په \((x_1, y_1)\) نقطه کې ده:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
د پارابولا معادلې \( y^2 = 4x \) څخه، موږ \( 4a = 4 \) ترلاسه کوو ترڅو \( a = 1 \). د \( a \) ارزښت او نقطه \((1, 2)\) ځای په ځای کړو:
\[ ۲y = ۲(۱)(x + ۱) \]
\[ ۲y = ۲x + ۲ \]
\[ y = x + 1 \]
نو، د پارابولا سره د ټانجینټ کرښې معادله \( y = x + 1 \) ده.
د تنجینټ کرښه تر هایپربولا پورې
هایپربولا یوه مخروطي برخه ده چې دوه څانګې او دوه غیر علایم لري. دلته د هایپربولا سره د ستونزو ځینې مثالونه دي.
بېلګه پوښتنه ۱
د معادلې سره یو هایپربولا ورکړل شوی \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \). د هایپربولا په نقطه \((5, 0)\) کې د ټانجینټ کرښې معادله معلومه کړئ.
بحث
د هایپربولا \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) ته د ټانجینټ کرښې معادله په \((x_1, y_1)\) نقطه کې ده:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
د \( a = 5 \) او \( b = 4 \) سره، ارزښتونه \( a \)، \( b \)، او نقطه \((5, 0)\) بدل کړئ:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = ۳ \]
نو، د هایپربولا سره د ټانجینټ کرښې معادله \( x = 5 \) ده.
پایله
د مخروطي برخو ته تنجینټ په ریاضي او مختلفو عملي غوښتنلیکونو کې مهم رول لوبوي. د مخروطي برخو ته د تنجینټ مساواتو موندلو پوهیدل، لکه حلقې، بیضوي، پارابولا، او هایپربولا، په محاسبه او تحلیلي هندسه کې یو اړین مهارت دی. د پورته مثالونو او بحثونو سره، هیله ده چې لوستونکي به د مخروطي برخو ته د تنجینټ ټاکلو لپاره د مفاهیمو او میتودونو ښه پوهه ترلاسه کړي.
