د انجیکشن، سرجیکٹیو، او دوه اړخیزو دندو په اړه د مثالونو پوښتنې او بحث
د یوې دندې تعریف او په ریاضي کې د هغې ګټورتوب اکثرا د بحث یوه په زړه پورې موضوع ده. پدې شرایطو کې، موږ ډیری وختونه د انجیکشن، سرجیکٹیو، او دوه اړخیزو دندو په څیر اصطلاحاتو سره مخ کیږو. د دې دریو ډوله دندو پوهیدل د ریاضي تحلیل او د کمپیوټر ساینس، اقتصاد او فزیک په څیر په مختلفو برخو کې د دوی عملي غوښتنلیکونو لپاره خورا مهم دي.
د انجیکشن، سرجیکټیو، او دوه اړخیزو دندو پوهیدل
د مثالي پوښتنو او د هغوی د بحث څخه مخکې، راځئ چې لومړی د دریو دندو تعریفونه په یاد ولرو.
۱. انجیکشن فنکشن (یو-په-یو فعالیت): یو فنکشن f : A → B انجیکشن ویل کیږي که چیرې د A ډومین کې د هر a1 او a2 لپاره، که f(a1) = f(a2) وي، نو a1 باید د a2 سره مساوي وي. په بل عبارت، یو انجیکشن فنکشن ډاډ ورکوي چې په A ډومین کې ځانګړي عناصر د کوډومین B کې د ځانګړو عناصرو سره نقشه شوي دي.
۲. سرجیکټیو فنکشن (په فعالیت کې): یو فنکشن f : A → B هغه وخت سرجیکټیو بلل کیږي کله چې د کوډومین B هر عنصر لږترلږه په ډومین A کې یو عنصر ولري چې ورسره نقشه شوی وي. پدې حالت کې، کوډومین B هیڅ "خالي" عناصر نلري یا د ډومین A څخه هیڅ سیال نلري.
۳. دوه اړخیزه دنده (یو په یو اړیکه): هغه دنده چې f : A → B وي، دوه اړخیزه بلل کیږي که چیرې دا دواړه انجیکشني او سرجیکٹي وي. دا پدې مانا ده چې په ډومین A کې هر عنصر په کوډومین B کې یو ځانګړی مقابل لري، او په کوډومین B کې هر عنصر په ډومین A کې هم یو ځانګړی مقابل لري.
نمونې پوښتنې او بحثونه
پوښتنه ۱: د انجیکشن دنده
پوښتنه:
د f فعالیت ورکړل شوی : ℝ → ℝ کوم چې د f(x) = 2x + 3 په توګه تعریف شوی. ثابت کړئ چې دا فعالیت یو انجیکشن فعالیت دی.
بحث:
د دې لپاره چې دا فعالیت انجیکشني ثابت شي، موږ باید وښیو چې که f(a) = f(b) وي نو a = b.
فرض کړئ f(a) = f(b)، موږ وایو چې:
\[ ۲الف + ۳ = ۲ب + ۳ \]
له دواړو خواوو څخه ۳ کم کړئ:
\[ ۲الف = ۲ب \]
په دواړو خواوو کې په 2 ویشئ:
\[ الف = ب \]
څرنګه چې موږ ښودلې چې f(a) = f(b) د a = b لامل کیږي، نو د f(x) = 2x + 3 فعالیت یو انجیکشن فعالیت دی.
پوښتنه ۲: سرجیکټیو فنکشن
پوښتنه:
د g : ℝ → ℝ په نوم یو فنکشن ورکړل شوی چې د g(x) = x^3 په توګه تعریف شوی. ثابت کړئ چې دا فنکشن یو سرجیکټیو فنکشن دی.
بحث:
د دې ثابتولو لپاره چې دا فعالیت فرضي دی، موږ باید وښیو چې د کوډومین ℝ کې د هر عنصر y لپاره، په ډومین ℝ کې لږترلږه یو عنصر x شتون لري لکه g(x) = y.
راځئ چې y ∈ ℝ. موږ غواړو x داسې ومومو چې:
\[ x^3 = y \]
واخلئ \( x = \sqrt[3]{y} \):
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
څرنګه چې د کوډومین ℝ کې د هر y لپاره موږ کولی شو x ومومو چې \( x = \sqrt[3]{y} \ دی)، نو د g(x) = x^3 فعالیت یو سرجیکټیو فعالیت دی.
پوښتنه ۳: دوه اړخیزې دندې
پوښتنه:
د h فعالیت ته په پام سره : ℝ → ℝ کوم چې د h(x) = x – 1 په توګه تعریف شوی. ثابت کړئ چې دا فعالیت دوه اړخیز دی.
بحث:
انجیکشن:
د دې لپاره چې ثابته کړو چې h(x) انجیکشني دی، موږ باید وښیو چې که h(a) = h(b) نو a = b.
فرض کړئ چې h(a) = h(b):
\[ الف – ۱ = ب – ۱ \]
په دواړو خواوو کې ۱ اضافه کړئ:
\[ الف = ب \]
څرنګه چې h(a) = h(b) د a = b لامل کیږي، نو فعالیت h(x) = x – 1 یو انجیکشن فعالیت دی.
سرجیکٹ:
د دې لپاره چې ثابته کړو چې h(x) فرضي دی، موږ باید وښیو چې د کوډومین ℝ کې د هر عنصر y لپاره، په ډومین ℝ کې لږترلږه یو عنصر x شتون لري لکه h(x) = y.
راځئ چې y ∈ ℝ. موږ غواړو x داسې ومومو چې:
\[ x – 1 = y \]
په دواړو خواوو کې ۱ اضافه کړئ:
\[ x = y + 1 \]
څرنګه چې د کوډومین ℝ کې د هر y لپاره موږ کولی شو یو x داسې ومومو چې x = y + 1 وي، نو فعالیت h(x) = x – 1 یو سرجیکټیو فعالیت دی.
څرنګه چې h(x) انجیکشني او سرجیکٹي دی، نو h(x) یو دوه اړخیزه فعالیت دی.
څلورمه پوښتنه: د فعالیت ډول ټاکل
پوښتنه:
د f فعالیت ته په پام سره: ℕ → ℕ د f(x) = 2x په توګه تعریف شوی. معلومه کړئ چې f یو انجیکشن، سرجیکٹیو، یا دوه اړخیزه فعالیت دی.
بحث:
انجیکشن:
د دې لپاره چې دا فعالیت انجیکشني ثابت شي، موږ باید وښیو چې که f(a) = f(b) وي نو a = b.
فرض کړئ f(a) = f(b):
\[ ۲الف = ۲ب \]
په دواړو خواوو کې په 2 ویشئ:
\[ الف = ب \]
له همدې امله، f(x) = 2x یو انجیکشني فعالیت دی.
سرجیکٹ:
د دې ثابتولو لپاره چې دا فعالیت فرضي دی، موږ باید وښیو چې د کوډومین ℕ کې د هر عنصر y لپاره، په ډومین ℕ کې لږترلږه یو عنصر x شتون لري لکه f(x) = y.
خو په یاد ولرئ چې کوډومین ℕ (طبیعي شمېرې) دي، پداسې حال کې چې f(x) = 2x یوازې جفت شمېرې ورکوي. فرض کړئ چې y یو طاق شمېره ده، په ℕ کې x نشته چې 2x = y وي.
له همدې امله، f(x) = 2x یو فرضي فعالیت نه دی.
څرنګه چې f(x) مفعول نه دی، نو f(x) هم دوه اړخیز نه دی.
د پورته ذکر شویو مختلفو مثالونو پر بنسټ، موږ کولی شو وګورو چې څنګه د مختلفو دندو تعریفونو څخه د دندو ډولونه (انجیکشن، سرجیکٹیو، دوه اړخیز) ثابت او وپیژنو. د دې دندو پوهیدل د ریاضیاتو او د هغې د حقیقي ژوند غوښتنلیکونو په ډیری اړخونو کې خورا مهم دي.
