د لامحدود هندسي لړۍ په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې
بې پایه هندسي لړۍ هغه لړۍ ده چې په یوه هندسي پرمختګ کې بې شمیره اصطلاحات پکې شامل دي. دا لړۍ د دوی د مجموعې (یا حد) د محاسبې وړ کیدو لپاره ځانګړي اړتیاوې لري. پدې مقاله کې، موږ به د بې پایه هندسي لړۍ بنسټیز مفهوم، د دوی د جوړولو لپاره اړتیاوې، او د څو مثالونو ستونزو او د هغوی د حل لارو په اړه بحث وکړو.
د لامحدود هندسي لړۍ بنسټیز مفهوم
په اصل کې، هندسي لړۍ د شمېرو یوه لړۍ ده چې په کې د لومړۍ وروسته هر اصطلاح د پخوانۍ اصطلاح د یو ثابت سره ضرب کولو سره ترلاسه کیږي چې عام تناسب (r) نومیږي. فرض کړئ چې موږ یوه هندسي لړۍ لرو:
\[ الف، ار، ار^۲، ار^۳، ار^۴، \ډټونه \]
د یوې لامحدودې هندسي لړۍ لپاره، موږ په لړۍ کې د ټولو اصطلاحاتو مجموعه په پام کې نیسو. د دې لړۍ مجموعه په لاندې ډول تعریف شوې ده:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Jumlah dari deret geometri tak hingga konvergen (memiliki nilai tertentu) jika dan hanya jika nilai dari rasio \( |r| < 1 \). Jika \( |r| \geq 1 \), maka deret tersebut divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu (mengarah ke tak terhingga). Bila \( |r| < 1 \), jumlah S dari deret geometri tak hingga dapat didefinisikan sebagai: \[ S = \frac{a}{1-r} \] di mana: - \( S \) adalah jumlah deret, - \( a \) adalah suku pertama, - \( r \) adalah rasio. Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal 1 Soal: Tentukan jumlah deret geometri tak hingga untuk deret berikut: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Pembahasan: Mari kita identifikasi elemen-elemen penting dari deret tersebut: Suku pertama \( a = 3 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 2 Soal: Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio \( r = -\frac{1}{3} \). Pembahasan: Suku pertama \( a = 8 \) Rasio \( r = -\frac{1}{3} \) Karena \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 3 Soal: Apakah deret berikut memiliki jumlah tak hingga? Jika iya, temukan jumlahnya. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 5 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10. Contoh Soal 4 Soal: Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 4 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Karena \( |r| = 1.5 > 1 \), deret ini divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu.
نو، لړۍ متفاوت ده.
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: فرض کړئ چې تاسو لاندې لامحدود لړۍ لرئ:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \]
د لړۍ مجموعه معلومه کړئ.
بحث:
لومړۍ دوره \( a = \frac{1}{2} \)
د \( r \) نسبت د دوهمې اصطالح د لومړۍ اصطالح په ویشلو سره موندل کیدی شي، یعنې:
\[ ر = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
څرنګه چې \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \)، دا لړۍ سره یوځای کیږي او موږ کولی شو د لامحدود لړۍ مجموعه محاسبه کړو. د لامحدود هندسي لړۍ د مجموعې لپاره فورمول وکاروئ: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] نو، د لامحدود هندسي لړۍ مجموعه 1 ده. پایله یو لامحدود هندسي لړۍ یو مهم ریاضيکي مفهوم دی چې په مختلفو برخو کې پراخه غوښتنلیکونه لري. د لامحدود هندسي لړۍ د مجموعې د ټاکلو لپاره، موږ باید ډاډ ترلاسه کړو چې تناسب \( |r| < 1 \). په دې توګه، د لړۍ مجموعه د ساده او مستقیم فورمول په کارولو سره محاسبه کیدی شي. د پورته مثال ستونزو څخه، موږ لیدلی شو چې دا تخنیک د لامحدود هندسي لړۍ پورې اړوند ستونزو حل کول خورا اسانه کوي.
