د مشتقاتو په سلسله کې د قاعدې په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې

په مشتقاتو کې د زنځیر د قانون په اړه د مثال پوښتنې او بحث

د زنځیر قاعده د تفریقي محاسبې یو له خورا بنسټیزو مفاهیمو څخه دی، چې د دوو یا ډیرو دندو څخه جوړ شوي فعالیت مشتق محاسبه کولو لپاره کارول کیږي. پدې مقاله کې، موږ به د زنځیر قاعدې بنسټیز مفهوم، د هغې کارولو څرنګوالی، او د مشتق ستونزو کې د هغې کارولو مثالونه چې ډیری وختونه په لیسه او کالج دواړو کې راپورته کیږي بحث وکړو.

۱. د زنځیر د قانون معرفي

مخکې لدې چې موږ د مثال ستونزې ته ورسیږو، راځئ چې لومړی پوه شو چې د زنځیر قاعده څه ده. د زنځیر قاعده وايي چې که موږ دوه د توپیر وړ دندې \( f \) او \( g \) ولرو، او موږ غواړو د دندو د ترکیب مشتق \( h = f(g(x)) \) ومومو، نو د \( h \) مشتق دا دی:

\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

په ساده اصطلاحاتو کې، موږ د بهرني فعالیت مشتق په g(x) باندې محاسبه کوو، بیا پایله د داخلي فعالیت \( g(x) \) مشتق سره ضرب کوو.

۲. د ترکیب د فعالیت پوهیدل

مخکې لدې چې موږ د مثال ستونزو ته ورسیږو، دا مهمه ده چې د ترکیب دندو پوه شو. د ترکیب دندو هغه فعالیت دی چې د یو فعالیت په بل کې د داخلولو سره ترلاسه کیږي. د مثال په توګه، که موږ \( f(x) = \sin(x) \) او \( g(x) = x^2 \) ولرو، نو د دواړو دندو ترکیب به \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) وي.

د جوړښت په دندو کې، موږ ډیری وخت \( g(x) \) د "داخلي دندو" په توګه او \( f(x) \) د "بهرني دندو" په توګه فکر کوو. پدې مثال کې، داخلي دندو \( x^2 \) او بهرنۍ دندو ساین دی.

۷. د پوښتنو او بحثونو بېلګې

راځئ چې د ځینو مثالونو ستونزو ته وګورو چې د حل لپاره یې د زنځیر قاعده کاروي.

بېلګه ۲:

د \( y = \cos(3x^2) \ فعالیت ته په پام سره، د x په اړه د y لومړی مشتق ومومئ.

بحث:

لومړی، موږ داخلي او بهرنۍ دندې په ګوته کوو. دلته، داخلي دنده \( g(x) = 3x^2 \) ده او بهرنۍ دنده \( f(g) = \cos(g) \) ده.

موږ پوهیږو:

۱. \( g'(x) = ۶x \)
۲. \( f'(g) = -\ګناه(g) \)

د زنځیر د قانون له مخې، موږ ترلاسه کوو:

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\ګناه(3x^2) \cdot 6x \]

نو، د \( y = \cos(3x^2) \) مشتق دا دی:

\[ y' = -6x \ګناه (3x^2) \]

بېلګه ۲:

د \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) لومړی مشتق ومومئ.

بحث:

دلته داخلي فعالیت \( g(x) = 5x^3 + 2x \) دی او بهرنۍ فعالیت \( f(g) = e^g \) دی.

موږ پوهیږو:

۱. \( g'(x) = ۱۵x^۲ + ۲ \)
۲. \( f'(g) = e^g \)

د زنځیر د قانون له مخې، موږ ترلاسه کوو:

\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]

نو، د \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) مشتق دا دی:

\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]

بېلګه ۲:

د \( y = \ln(4x^2 – 5) \) لومړی مشتق ومومئ.

بحث:

داخلي فعالیت \( g(x) = 4x^2 – 5 \) دی او بهرنۍ فعالیت \( f(g) = \ln(g) \) دی.

موږ پوهیږو:

۱. \( g'(x) = ۶x \)
۲. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)

د زنځیر د قانون له مخې، موږ ترلاسه کوو:

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]

نو، د \( y = \ln(4x^2 – 5) \) مشتق دا دی:

\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]

بېلګه ۲:

د فعالیت \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) په پام کې نیولو سره، د هغې مشتق ومومئ.

بحث:

داخلي فعالیت \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) دی او بهرنۍ فعالیت \( f(g) = g^4 \) دی.

موږ پوهیږو:

۱. \( g'(x) = ۶x + ۲ \)
۲. \( f'(g) = ۴g^۳ \)

د زنځیر د قانون له مخې، موږ ترلاسه کوو:

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]

نو، د \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) مشتق دا دی:

\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]

۴. ځانګړي قضیې او د سلسلې قواعدو پراختیا

ځینې ​​وختونه، د زنځیر قاعده یوازې د دوو دندو په ترکیب پورې نه تړل کیږي. داسې وختونه شته چې یو فعالیت د دوو څخه زیاتو دندو ترکیب وي، د مثال په توګه: \( h(x) = f(g(k(x))) \).

د دریو دندو په صورت کې، د زنځیر قاعده په طبقو کې پلي کیدی شي:

\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]

موږ لیدلی شو چې په هره طبقه کې، موږ د داخلي طبقو مشتقاتو ته د تګ دمخه د بهرني طبقو مشتقات محاسبه کوو.

بېلګه ۲:

ورکړل شوی \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \)، د هغې مشتق ومومئ.

بحث:

تر ټولو دننه دنده \( k = 2x^2 + 1 \)، منځنی: \( g = \ln(k) \) او بهرنۍ: \( f = \sqrt{g} \) ده.

موږ پوهیږو:

۱. \( k'(x) = ۴x \)
۲. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
۳. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)

راځئ چې د زنځیر قانون په طبقو کې پلي کړو:

\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]

نو د \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) مشتق دا دی:

\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]

5. Kesimpulan

د زنځیر قاعده په توپیري محاسبه کې مهم رول لوبوي، په ځانګړې توګه کله چې د دندو د جوړښت سره معامله کیږي. د زنځیر قاعدې پوهیدل او مهارت د محاسبه کې د ډیرو پیچلو ستونزو سره د مبارزې لپاره یو قوي بنسټ چمتو کوي. پدې مقاله کې د مشتقاتو لپاره د زنځیر قاعدې د پلي کولو په اړه د قوي پوهاوي چمتو کولو لپاره څو مهم مثالونه بحث شوي دي. موږ هیله لرو چې دا بحث د زده کونکو لپاره ګټور وي او د مختلفو ننګونو ریاضيکي شرایطو لپاره پلي کیدی شي.