ਉਤਪਾਦ ਪਲ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ ਅਤੇ ਚਰਚਾ
ਉਤਪਾਦ-ਪਲ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ, ਜਿਸਨੂੰ ਪੀਅਰਸਨ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਅੰਕੜਾ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸਬੰਧ ਦੀ ਤਾਕਤ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਧੀ ਅਕਾਦਮਿਕ ਖੋਜ ਅਤੇ ਕਾਰੋਬਾਰੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਦੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਤੱਕ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ। ਇਹ ਲੇਖ ਉਤਪਾਦ-ਪਲ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਉਦਾਹਰਣ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੇਗਾ।
ਪੇਂਡਹੁਲੁਆਨ
ਉਦਾਹਰਣ ਵਾਲੇ ਸਵਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਜਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਉਤਪਾਦ ਮੋਮੈਂਟ ਸਹਿ-ਸਬੰਧ ਦੀ ਮੂਲ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਚਾਰ ਹੈ। ਪੀਅਰਸਨ ਸਹਿ-ਸਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ (\(r\)) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਹ ਹੈ:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
ਡਿਮਾਨਾ:
– \( n \) ਡੇਟਾ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
– \( \sum{XY} \) \( X \) ਅਤੇ \( Y \) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
– \( \sum{X} \) ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ \( X \)।
– \( \sum{Y} \) ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ \( Y \)।
– \( \sum{X^2} \) ਵੇਰੀਏਬਲ \( X \) ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
– \( \sum{Y^2} \) ਵੇਰੀਏਬਲ \( Y \) ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
ਪੀਅਰਸਨ ਦਾ ਸਹਿ-ਸਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ (\( r \)) ਹਮੇਸ਼ਾ -1 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਹਿ-ਸਬੰਧ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਹਿ-ਸਬੰਧ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ \( r = 0 \), ਤਾਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਰੇਖਿਕ ਸਹਿ-ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ 1
ਡੇਟਾ
5 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕੜੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:
| ਵਿਦਿਆਰਥੀ | ਗਣਿਤ (X) | ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਕਦਮ
1. ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਕਰੋ:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ:
– ਸੰਖਿਆ: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
- ਭਾਜਕ:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \ਲਗਭਗ \sqrt{976856} \ਲਗਭਗ 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \ਲਗਭਗ 0.633 \]
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਟੈਸਟ ਦੇ ਸਕੋਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਪੀਅਰਸਨ ਸਹਿ-ਸਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ 0.633 ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਮੱਧਮ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਬੰਧ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ 2
ਡੇਟਾ
ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਕੰਪਨੀ ਵਿੱਚ 6 ਮਹੀਨਿਆਂ ਤੋਂ ਵਿਕਰੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਖਰਚੇ ਦਾ ਡੇਟਾ ਹੈ:
| ਮਹੀਨਾ | ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ (X) | ਵਿਕਰੀ (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਕਦਮ
1. ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਕਰੋ:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ:
– ਸੰਖਿਆ: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
- ਭਾਜਕ:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \ਲਗਭਗ \sqrt{9343200000000} \ਲਗਭਗ 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \ਲਗਭਗ 0.981 \]
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਖਰਚ ਅਤੇ ਵਿਕਰੀ ਮੁੱਲ ਵਿਚਕਾਰ ਪੀਅਰਸਨ ਸਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ 0.981 ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਮਜ਼ਬੂਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਬੰਧ ਹੈ।
ਸਿੱਟਾ
ਪੀਅਰਸਨ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ (\(r\)) ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਿਕ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਔਜ਼ਾਰ ਹੈ। ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ \(r\) ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਉੱਚ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ (1 ਜਾਂ -1 ਦੇ ਨੇੜੇ) ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਘੱਟ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ (0 ਦੇ ਨੇੜੇ) ਇੱਕ ਕਮਜ਼ੋਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਕਾਰਨਾਮਾ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ; ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਹੈ।
