ਨਿਰਧਾਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਸਵਾਲ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ
ਨਿਰਧਾਰਨ ਗੁਣਾਂਕ (R²) ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਡੇਟਾ ਦੀ ਅਸਲ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਉਦਾਹਰਣ ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ।
ਨਿਰਧਾਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਮੂਲ ਧਾਰਨਾ
ਨਿਰਧਾਰਨ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਜਾਂ \( R^2 \) 0 ਤੋਂ 1 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ:
– \( R^2 = 0 \) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਡੇਟਾ ਦੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਵੀ ਸਮਝਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।
– \( R^2 = 1 \) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਡੇਟਾ ਦੀ ਸਾਰੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮੂਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਹ ਹੈ:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
ਮਨ:
– SSR (ਵਰਗ ਰਹਿੰਦ-ਖੂੰਹਦ ਦਾ ਜੋੜ) ਮਾਡਲ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਅਤੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
- SST (ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਕੁੱਲ ਜੋੜ) ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਕੁੱਲ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ
ਆਓ ਨਿਰਧਾਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਹੋਰ ਡੂੰਘਾਈ ਨਾਲ ਸਮਝਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੀਏ।
ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ:
ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 10 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਘੰਟਿਆਂ (X) ਅਤੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ (Y) ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਡੇਟਾ ਹੈ:
| ਵਿਦਿਆਰਥੀ | ਪੜ੍ਹਾਈ ਦੇ ਘੰਟੇ (X) | ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਲੀਨੀਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕ (Y) ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ (X) ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਚਰਚਾ
1. ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਲੀਨੀਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਰੇਖਿਕ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਦਾ ਰੂਪ ਇਹ ਹੈ:
\[ ਵਾਈ = ਏ + ਬੀਐਕਸ \]
ਮਨ:
– \( Y \) ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਟੈਸਟ ਸਕੋਰ ਹੈ।
– \( X \) ਪੜ੍ਹਾਈ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
– \( a \) ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ (Y ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਜਦੋਂ X = 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ)।
– \( b \) ਢਲਾਨ ਹੈ (ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਰੇਖਾ ਦਾ ਝੁਕਾਅ)।
ਪੈਰਾਮੀਟਰ \( a \) ਅਤੇ \( b \) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
ਜਿੱਥੇ \( n \) ਡੇਟਾ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ (ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ n = 10)।
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
– \(\ਜੋੜ{X} = 36\)
– \(\ਜੋੜ{Y} = 704\)
– \(\ਜੋੜ{X^2} = 140\)
– \(\ਜੋੜ{Y^2} = 50428\)
– \(\ਜੋੜ{XY} = 2576\)
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ b ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੀਏ:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ ਬੀ = 4 \]
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\"a = 56 \]
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਣ ਵਾਲਾ ਰੇਖਿਕ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਇਹ ਹੈ:
\[ ਵਾਈ = 56 + 4 ਐਕਸ \]
2. ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ (Y') ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ \( X \) ਲਈ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ \( Y' \) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
| ਵਿਦਿਆਰਥੀ | ਪੜ੍ਹਾਈ ਦੇ ਘੰਟੇ (X) | ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ (Y) | ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਸਕੋਰ (Y') |
|——-|——————–|——————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR ਅਤੇ SST ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ \( R^2 \) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ SSR ਅਤੇ SST ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
SSR:
\[ SSR = \ਜੋੜ{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ ਐੱਸ.ਐੱਸ.ਆਰ. = 454 \]
ਐਸਐਸਟੀ:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
ਮਨ:
\[ \ਬਾਰ{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ ਐਸਐਸਟੀ = 1107.44 \]
4. ਨਿਰਧਾਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ ਆਰ^2 = 0.59 \]
ਸਿੱਟਾ
ਉਪਰੋਕਤ ਗਣਨਾ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਨ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ (R2 = 0.59) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ। ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਰੇਖਿਕ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਦੇ ਲਗਭਗ 59% ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਬਾਕੀ 41% ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਨਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹੋਰ ਕਾਰਕਾਂ ਕਰਕੇ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਪਰੋਕਤ ਕਦਮਾਂ ਅਤੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਡੇਟਾ ਦੀ ਅਸਲ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅੰਕੜਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਅਤੇ ਡੇਟਾ ਮਾਡਲਿੰਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਹੈ।
