ਮੌਕਿਆਂ ਦੀ ਵੰਡ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਸਵਾਲ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ

ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ ਅਤੇ ਚਰਚਾ

ਸੰਭਾਵੀ ਵੰਡ ਅੰਕੜਿਆਂ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕੀਤੇ ਜਾ ਰਹੇ ਡੇਟਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਕਈ ਰੂਪ ਲੈ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸੰਭਾਵੀ ਵੰਡ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਕਿਸਮਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ। ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਉਦਾਹਰਣ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।

ਵੱਖਰੀ ਵੰਡ

ਇੱਕ ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਇੱਕ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਕਿ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜੋ ਸਿਰਫ ਕੁਝ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਹੀ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਜਾਣੀਆਂ-ਪਛਾਣੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਅਤੇ ਪੋਇਸਨ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 1: ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ
ਦੋਪਦੀ ਵੰਡ ਬਰਨੌਲੀ ਪਰੀਖਣਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਬਰਨੌਲੀ ਪਰੀਖਣ ਦੇ ਦੋ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਸਫਲਤਾ ਜਾਂ ਅਸਫਲਤਾ। ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪੂਰੇ ਪਰੀਖਣ ਦੌਰਾਨ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

ਸਵਾਲ:
ਇੱਕ ਫਾਰਮਾਸਿਊਟੀਕਲ ਕੰਪਨੀ 10 ਮਰੀਜ਼ਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਦਵਾਈ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਇੱਕ ਮਰੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਦਵਾਈ ਦੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.7 ਹੈ। ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਦਵਾਈ 10 ਵਿੱਚੋਂ 7 ਮਰੀਜ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਚਰਚਾ:
ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ \(X\) \(n = 10\) ਅਤੇ \(p = 0.7\) ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]

\(k = 7\) ਲਈ:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]

ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ \(\binom{10}{7}\) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]

ਸੰਭਾਵਨਾ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ:
\[ P(X = 7) = 120 \ਗੁਣਾ (0.7)^7 \ਗੁਣਾ (0.3)^3 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 7) \ਲਗਭਗ 120 \ਗੁਣਾ 0.0823543 \ਗੁਣਾ 0.027 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 7) \ਲਗਭਗ 0.231 \]

ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਦਵਾਈ 10 ਵਿੱਚੋਂ 7 ਮਰੀਜ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਲਗਭਗ 0.231 ਜਾਂ 23.1% ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2: ਪੋਇਸਨ ਵੰਡ
ਪੋਇਸਨ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਦੁਰਲੱਭ ਘਟਨਾ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਸਵਾਲ:
ਇੱਕ ਦੁਕਾਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਔਸਤਨ 4 ਗਾਹਕ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਦੁਕਾਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ 5 ਗਾਹਕ ਮਿਲਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?

ਚਰਚਾ:
ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ \(X\) ਪੈਰਾਮੀਟਰ \(\lambda = 4\) ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪੋਇਸਨ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪੋਇਸਨ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਪੁੰਜ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ:
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = ਕੇ) = \ਫ੍ਰੈਕ{\ਲੈਮਬਡਾ^ਕੇ^{-\ਲੈਮਬਡਾ}}{ਕੇ!} \]

\(k = 5\) ਲਈ:
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 5) = \ਫ੍ਰੈਕ{4^5 ਈ^{-4}}{5!} \]

ਗਿਣਤੀ:
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 5) = \ਫ੍ਰੈਕ{1024 \ਸੀਡੌਟ ਈ^{-4}}{120} \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 5) \ਲਗਭਗ \ਫ੍ਰੈਕ{1024 \ਸੀਡੌਟ 0.0183}{120} \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 5) \ਲਗਭਗ 0.156 \]

ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਸਟੋਰ ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ 5 ਗਾਹਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਲਗਭਗ 0.156, ਜਾਂ 15.6% ਹੈ।

ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡ

ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਮਾਪਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸੀਮਾ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਜਾਣੀਆਂ-ਪਛਾਣੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਸਧਾਰਨ ਵੰਡ ਅਤੇ ਘਾਤਕ ਵੰਡ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 3: ਆਮ ਵੰਡ
ਆਮ ਵੰਡ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਗੌਸੀ ਵੰਡ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਵੰਡ ਹੈ ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ ਸਮੇਤ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਸਵਾਲ:
ਇੱਕ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ ਬਾਲਗ ਮਰਦਾਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ 170 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਔਸਤ ਅਤੇ 10 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਣ ਨਾਲ ਵੰਡੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਆਦਮੀ 160 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 180 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਲੰਬਾ ਹੈ?

ਚਰਚਾ:
ਸਾਨੂੰ 160 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 180 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। z-ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

\(X = 160\) ਲਈ:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]

\(X = 180\) ਲਈ:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]

ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ z ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ -1 ਤੋਂ 1 ਤੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। z = -1 ਤੋਂ z = 1 ਤੱਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲਗਭਗ 0.6826 ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਆਦਮੀ 160 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 180 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਲੰਬਾ ਹੈ, ਲਗਭਗ 0.6826 ਜਾਂ 68.26% ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 4: ਘਾਤਕ ਵੰਡ
ਪੋਇਸਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤਕ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਸਵਾਲ:
ਇੱਕ ਸਟੋਰ 'ਤੇ ਦੋ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਆਉਣ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਸਮਾਂ 15 ਮਿੰਟ ਹੈ। ਦੋ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਆਉਣ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮਾਂ 10 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?

ਚਰਚਾ:
ਘਾਤ ਅੰਕ ਵੰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰ \(\lambda\) ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਔਸਤ (\(\mu\)) ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। 15 ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਔਸਤ ਨਾਲ:
\[ \ਲੈਂਬਡਾ = \ਫ੍ਰੈਕ{1}{\ਮਿਊ} = \ਫ੍ਰੈਕ{1}{15} = 0.0667 \]

ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]

\(x = 10\) ਲਈ:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \ਗੁਣਾ 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \ਲਗਭਗ 1 – 0.5134 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ \ਲੇਕ 10) \ਲਗਭਗ 0.4866 \]

ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਆਉਣ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਸਮਾਂ 10 ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ 0.4866 ਜਾਂ 48.66% ਹੈ।

ਸਿੱਟਾ

ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ, ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਦੋਵੇਂ, ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਮਾਡਲਿੰਗ ਅਤੇ ਸਮਝਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਸੰਕਲਪ ਹਨ। ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਅਤੇ ਪੋਇਸਨ ਵੰਡਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਆਮ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵੰਡਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਰਾਹੀਂ, ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਬਿਹਤਰ ਸਮਝ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਈ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਕਸਾਰ ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਦੀ ਤੁਹਾਡੀ ਯੋਗਤਾ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।