ਦੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ A ਅਤੇ B ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਨਿਯਮ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ
ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਨਿਯਮ ਕਈ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਅਕਸਰ ਕੁਝ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨਿਯਮ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਾਂਗੇ।
ਦੋ ਆਪਸੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਸਮਝਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਤੋਂ ਕੀ ਭਾਵ ਹੈ। ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜਾਂ ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਨਹੀਂ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਤੱਤ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਵੀ ਇੱਕ ਤੱਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ \(A\) ਅਤੇ \(B\) ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਘਟਨਾ \(A\) ਜਾਂ \(B\) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੋਵਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
\[ ਪੀ(ਏ \ਕੱਪ ਬੀ) = ਪੀ(ਏ) + ਪੀ(ਬੀ) \]
ਜਿੱਥੇ \(P(A \cup B)\) \(A\) ਜਾਂ \(B\) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, \(P(A)\) ਘਟਨਾ \(A\) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ \(P(B)\) ਘਟਨਾ \(B\) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਚਰਚਾ ਸਵਾਲ
ਆਓ ਦੋ ਆਪਸੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੇ ਉਪਯੋਗ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ 1
ਸਵਾਲ:
ਛੇ-ਪਾਸੜ ਡਾਈ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ 2 ਜਾਂ 4 ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਚਰਚਾ:
ਅਸੀਂ ਘਟਨਾ \(A\) ਨੂੰ ਮੁੱਲ 2 ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਵਜੋਂ ਅਤੇ ਘਟਨਾ \(B\) ਨੂੰ ਮੁੱਲ 4 ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ:
– \(P(A)\) ਮੁੱਲ 2 ਦੇ ਪ੍ਰਗਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
– \(P(B)\) ਮੁੱਲ 4 ਦੇ ਪ੍ਰਗਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਡਾਈ ਦੇ ਛੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਦੇ ਪ੍ਰਗਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ \( \frac{1}{6} \) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ:
\[ ਪੀ(ਏ) = \ਫ੍ਰੈਕ{1}{6} \]
\[ ਪੀ(ਬੀ) = \ਫ੍ਰੈਕ{1}{6} \]
ਘਟਨਾਵਾਂ \(A\) ਅਤੇ \(B\) ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਮੁੱਲ 2 ਅਤੇ 4 ਡਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਰੋਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦੇ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਮੁੱਲ 2 ਜਾਂ 4 ਹੈ, \( \frac{1}{3} \) ਜਾਂ ਲਗਭਗ 33.33% ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ 2
ਸਵਾਲ:
ਇੱਕ ਬੈਗ ਵਿੱਚ 10 ਗੇਂਦਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 4 ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਅਤੇ 6 ਨੀਲੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ ਕਿ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਜਾਂ ਨੀਲੀ ਹੈ?
ਚਰਚਾ:
ਅਸੀਂ ਘਟਨਾ \(A\) ਨੂੰ ਲਾਲ ਗੇਂਦ ਲੈਣ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਘਟਨਾ \(B\) ਨੂੰ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ ਲੈਣ ਵਜੋਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ:
– \(P(A)\) ਇੱਕ ਲਾਲ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
– \(P(B)\) ਇੱਕ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
\[ P(A) = \frac{\text{ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ}}{\text{ਬਾਲਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{ਨੀਲੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ}}{\text{ਬਾਲਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
ਘਟਨਾਵਾਂ \(A\) ਅਤੇ \(B\) ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਅਤੇ ਨੀਲੀ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
ਇਸ ਲਈ, ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਦੇ ਲਾਲ ਜਾਂ ਨੀਲੇ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1, ਜਾਂ 100% ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਲਾਲ ਜਾਂ ਨੀਲੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ 3
ਸਵਾਲ:
20 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 7 ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਪਸੰਦ ਹੈ, 5 ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨ ਪਸੰਦ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਸੰਦ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਜਾਂ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਇੱਕ ਪਸੰਦ ਹੈ।
ਚਰਚਾ:
ਅਸੀਂ ਘਟਨਾ \(A\) ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਪਸੰਦ ਕਰਨ ਵਜੋਂ ਅਤੇ ਘਟਨਾ \(B\) ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨ ਪਸੰਦ ਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ:
– \(P(A)\) ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਪਸੰਦ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
– \(P(B)\) ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨ ਪਸੰਦ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
\[ P(A) = \frac{\text{ਗਣਿਤ ਪਸੰਦ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ}}{\text{ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{ਵਿਗਿਆਨ ਪਸੰਦ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ}}{\text{ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
ਘਟਨਾਵਾਂ \(A\) ਅਤੇ \(B\) ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਪਸੰਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਜਾਂ ਵਿਗਿਆਨ ਪਸੰਦ ਹੈ \( \frac{3}{5} \) ਜਾਂ 60% ਹੈ।
ਸਿੱਟਾ
ਦੋ ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਨਿਯਮ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਿਧਾਂਤ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਾਸਾ ਘੁੰਮਾਉਣਾ, ਬੈਗ ਵਿੱਚੋਂ ਗੇਂਦਾਂ ਕੱਢਣਾ, ਜਾਂ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚੋਂ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਅਤੇ ਉਸ ਵਿੱਚ ਮੁਹਾਰਤ ਹਾਸਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਪਸੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
