Slik beregner du kvartiler, desiler og persentiler i statistiske data
I statistikk trenger vi ofte å vite posisjonen til en verdi i et datasett. Det er ikke nok å bare beregne gjennomsnittet eller medianen, ettersom disse målene ikke beskriver hvordan dataene er fordelt og hvordan en observasjon sammenlignes med andre. Det er her kvartiler, desiler og persentiler kommer inn i bildet. Disse tre er posisjonsmål som deler sorterte data i like deler. Denne artikkelen diskuterer definisjonen, generelle trinn og hvordan man beregner kvartiler, desiler og persentiler for både enkeltstående og grupperte data.
-
1. Grunnleggende konsept : Data må sorteres
Før vi beregner kvartiler, desiler eller persentiler, er det viktigste trinnet å sortere dataene fra minste til største. Når dataene er sortert, kan vi bestemme plasseringen av kvartilene, desilene eller persentilene basert på deres indeksposisjoner.
Generelt:
– Kvartiler deler dataene inn i fire deler.
– Desiler deler dataene inn i 10 deler.
– Persentiler deler dataene inn i 100 deler.
I praksis brukes kvartiler, desiler og persentiler ofte til analyse av testresultater, inntektsdata, antropometriske målinger (høyde/vekt) og ytelsesevaluering.
-
2. Hvordan beregne kvartiler (Q1, Q2, Q3)
A. Kvartiler i enkeltdata (ikke gruppert)
Kvartiler består av:
– Q1: nedre kvartil (25 % av dataene er under denne)
– Q2: median (50 %)
– Q3: øvre kvartil (75 %)
Fremgangsmåte for å beregne enkeltdatakvartiler:
1. Sorter dataene.
2. Beregn kvartilposisjonen ved hjelp av posisjonsformelen:
– Posisjon Q1 = \((n+1)/4\)
– Posisjon Q2 = ∫(n+1)/4− eller ∫(n+1)/2−
– Posisjon Q3 = ∫(3(n+1)/4)
Hvis posisjonen er et heltall, ta verdien på den posisjonen. Hvis posisjonen er en brøk, interpoler (ta verdien mellom de to nærmeste datapunktene).
Et raskt eksempel:
Sorterte data: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Posisjon Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → er mellom 2. og 3. data.
Så Q1 er mellom 6 og 7. Interpolasjon:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Kvartiler i grupperte data ( frekvensfordeling )
For grupperte data (f.eks. klasseintervaller ) beregnes kvartiler ved hjelp av formelen:
\[
Q_k = L + (((k/4n – F)/f)) × c
\]
Informasjon:
– \(Q_k\): k-te kvartil (k = 1,2,3)
– \(L\): nedre kant av kvartilklassen
– \(n\): antall data (total frekvens)
– (F): kumulativ frekvens før kvartilklassen
– \(f\): frekvens i kvartilklasse
– \(c\): klasselengde
Generelle trinn:
1. Lag en kumulativ frekvens.
2. Bestem plasseringen av kvartilen: \(k/4 \times n\).
3. Finn klassen som inneholder den posisjonen.
4. Skriv inn i formelen.
-
3. Hvordan beregne desiler (D1 til D9)
Desiler deler dataene inn i 10 deler, slik at:
– \(D_1\) indikerer den nederste 10%-grensen for dataene,
– \(D_5\) er lik medianen,
– \(D_9\) indikerer datagrensen på 90 %.
A. Desiler i enkeltdata
Formel for desilposisjon:
\[
Posisjon D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
med \(k = 1,2,\dots,9\).
Når posisjonen er oppnådd, er metoden for å ta verdien den samme som for kvartilen: hvis den er en helhet, ta den direkte, hvis den er en brøk, interpoler.
-
B. Desiler i grupperte data
Desilformel for grupperte data:
\[
D_k = L + (((k/10 n – F))/f) x c
\]
Beskrivelsen er den samme som kvartilen, bare at divisoren er 10.
Langkah:
1. Beregn (k/10 x n).
2. Bestem desilklassen basert på kumulativ frekvens.
3. Sett inn i formelen.
Desiler brukes ofte i økonomisk analyse, for eksempel ved å dele folks inntekt inn i 10 grupper (desil 1 er den fattigste til desil 10 er den rikeste).
-
4. Hvordan beregne persentiler (P1 til P99)
Persentiler er mer detaljerte fordi de deler dataene inn i 100 deler. Verdien P25 = Q1, P50 = median og P75 = Q3. Dette betyr at kvartiler faktisk er et spesialtilfelle av persentiler.
A. Persentiler på enkeltdata
Formel for persentilposisjon:
\[
P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
med \(k = 1,2,\dots,99\).
Fremgangsmåten er den samme: sorter dataene, beregn posisjonen, og ta deretter verdien eller interpoler.
-
B. Persentiler i grupperte data
Formel for persentil for grupperte data:
\[
P_k = L + (((k/100 n – F))/f) x c
\]
Trinnene er identiske med desiler/kvartiler:
1. Bestem posisjonen (k/100 x n).
2. Finn persentilklassen til den kumulative frekvensen.
3. Bruk formelen.
Persentiler brukes ofte i akademiske og helsemessige vurderinger. For eksempel betyr et barns høyde på 80. persentil at barnet er høyere enn 80 % av barna på hans eller hennes alder.
-
5. Viktige tips og vanlige feil
1. Data må sorteres (spesielt for enkeltdata). Uten sortering er kvartiler/desiler/persentiler meningsløse.
2. Sørg for å bruke klassegrenser på grupperte data (ikke klassegrenser) hvis du bruker kontinuerlige konsepter.
3. Den kumulative frekvensen må være korrekt, fordi kvartil-/desil-/persentilklassen bestemmes ut fra den akkumulerte frekvensen.
4. Vær oppmerksom på klasselengden (c). Klasselengden må ikke være feil, da det påvirker beregningsresultatene.
5. Interpolering er viktig når posisjoner ikke avrundes. Mange elever runder posisjoner umiddelbart, selv om dette kan redusere nøyaktigheten.
-
6. Penutup
Kvartiler, desiler og persentiler er viktige statistiske verktøy for å forstå fordelingen av data. Kvartiler er egnet for enkle sammendrag (f.eks. i et boksplott), desiler er nyttige for mer detaljerte grupperinger som inntektsanalyse, mens persentiler bidrar til å evaluere en veldig spesifikk persons posisjon i populasjonen. Ved å forstå de grunnleggende trinnene – sortering av data, bestemmelse av posisjon og bruk av passende formler for enkelt- eller grupperte data – kan du beregne kvartiler, desiler og persentiler med større nøyaktighet og sikkerhet.
Hvis du vil, kan jeg legge til et komplett eksempel på en gruppert datatabell (intervall, frekvens, kumulativ frekvens) og deretter beregne Q1, D7 og P85 i detalj for å gjøre det enklere å øve.
