Teknikker for å bestemme gjennomsnittlig avvik i statistiske data
I statistikk er det ofte ikke nok å bare forstå «sentrum» av dataene – for eksempel gjennom gjennomsnittet eller medianen. To datasett kan ha samme gjennomsnitt, men variere betydelig i nivåene av «variasjon». Derfor er mål på spredning viktige. Et mål på spredning som er relativt enkelt å forstå og bruke, er gjennomsnittsavviket. Denne artikkelen diskuterer teknikker for å bestemme gjennomsnittsavviket i ulike former for statistiske data, komplett med beregningstrinn og eksempler.
Forstå gjennomsnittlig avvik
Gjennomsnittsavviket er et mål som angir den gjennomsnittlige avstanden til hvert datapunkt fra et mål på sentral tendens, vanligvis det aritmetiske gjennomsnittet (gjennomsnittet) eller medianen. Avstanden det er snakk om er den absolutte verdien av differansen mellom dataene og den sentrale verdien, slik at ingen negativ differanse "kansellerer ut" en positiv differanse.
Generelt beskriver gjennomsnittsavviket hvor langt dataene er spredt ut fra sin sentrale verdi. Jo mindre gjennomsnittsavviket er, desto tettere er dataene gruppert rundt sentrum; jo større verdi, desto mer variable er dataene.
Hvorfor bruke absoluttverdi?
Hvis vi beregner gjennomsnittet av forskjellene mellom dataene og gjennomsnittet uten en absoluttverdi, vil summen av forskjellene alltid være null (fordi gjennomsnittet er likevektspunktet). Hvis det for eksempel er forskjeller på +5 og -5, summerer de seg til 0. Derfor brukes absolutte verdier slik at avvikene virkelig gjenspeiler dataenes avstand fra sentrum.
Formel for gjennomsnittlig avvik for enkeltdata
For enkeltdata (ikke gruppert) formuleres det gjennomsnittlige avviket fra gjennomsnittet:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Informasjon:
– \(SR \): gjennomsnittlig avvik
– \(x_i \): i-te data
– \( \bar{x} \): aritmetisk gjennomsnitt (gjennomsnitt)
– \(n \): datamengde
Teknikk for beregning av enkeltdata (trinn)
1. Beregn gjennomsnittet \( \bar{x} \) av alle dataene.
2. Beregn differansen mellom hver data og gjennomsnittet: \( x_i – \bar{x} \).
3. Ta den absolutte verdien av hver differanse: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Legg sammen alle absoluttverdiene av differansene.
5. Del på antall data \(n \).
Eksempel på enkeltdata
Verdidata: 6, 8, 10, 12, 14
1) Gjennomsnitt:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Absoluttverdien av differansen:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Totalt = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Gjennomsnittlig avvik:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
Dette betyr at hver verdi i gjennomsnitt avviker med 2,4 enheter fra gjennomsnittet (10).
Gjennomsnittlig avvik for hyppige (diskrete) data
Hvis dataene presenteres i form av verdier og frekvenser (f.eks. en tabell), blir formelen:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Informasjon:
– \(f_i \): datafrekvens \(x_i \)
Teknikker for beregning av frekvensdata
1. Beregn gjennomsnittet: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. Beregn \( |x_i-\bar{x}| \)
3. Multipliser med frekvensen: \( f_i |x_i - \bar{x}| \)
4. Legg sammen alle resultatene fra trinn 3
5. Del på den totale frekvensen
Eksempler på diskrete data
| Verdi (x) | Frekvens (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Total frekvens: \(2+3+1=6\)
Mener:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Beregn avviket:
– For x=5: |5−6,67|=1,67 → ganger f=2 → 3,34
– For x=7: |7−6,67|=0,33 → ganger f=3 → 0,99
– For x=9: |9−6,67|=2,33 → ganger f=1 → 2,33
Totalt: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Gjennomsnittlig avvik:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Gjennomsnittlig avvik for grupperte data (klasseintervall)
I grupperte data (for eksempel intervallfrekvensfordelinger) vises ikke dataverdier individuelt, men heller i klasser. For dette formålet brukes klassens midtpunkt (xi) til å representere dataene innenfor en klasse.
Formelen:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i -\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Imidlertid er \(x_i\) midtpunktet i klassen.
Teknikker for beregning av gruppedata
1. Bestem midtpunktet for hver klasse:
\[
x_i=\frac{\text{nedre grense + øvre grense}}{2}
\]
2. Beregn gruppegjennomsnittet:
\[
\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. Beregn \( |x_i-\bar{x}| \)
4. Multipliser med frekvensen \(f_i \)
5. Legg sammen alle resultatene, og del deretter på den totale frekvensen.
Eksempel på gruppedata
| Klasse | f |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
Midtpunkt:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Totalt f = 10
Mener:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Avvik:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Totalt = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Gjennomsnittlig avvik:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Gjennomsnittlig avvik fra median
I tillegg til gjennomsnittet kan også det gjennomsnittlige avviket beregnes fra medianen. Prinsippet er det samme, bare den sentrale verdien er forskjellig. Dette er nyttig når dataene inneholder uteliggere fordi medianen er mer motstandsdyktig mot ekstremverdier.
For enkeltdata:
\[
SR_{Me} = \frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
For frekvensdata:
\[
SR_{Me} = \frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
Fordeler og begrensninger ved gjennomsnittlig avvik
Fordeler:
1. Lett å forstå fordi den bruker «gjennomsnittlig avstand» fra datasenteret.
2. Bruk alle data (ikke bare visse data).
3. Kan beregnes for ulike former for datapresentasjon.
Begrensninger:
1. Mindre populært enn standardavvik i avansert statistisk analyse.
2. Bruken av absolutte verdier gjør det mindre praktisk for noen algebraiske manipulasjoner.
3. Ikke så sterk som standardavviket i mange slutningsmetoder.
Lukking
Teknikken for å bestemme gjennomsnittsavviket i statistiske data følger i hovedsak et konsistent mønster: bestem den sentrale verdien (gjennomsnitt eller median), beregn den absolutte avstanden til hvert datapunkt (eller klassens midtpunkt) fra sentrum, og beregn deretter gjennomsnittet av disse – ta hensyn til frekvensen hvis dataene presenteres i en tabell. Gjennomsnittsavviket er et praktisk mål på spredning for intuitiv beskrivelse av datavariabilitet. Ved å forstå trinnene kan du sammenligne variasjon på tvers av datasett og mer fullstendig vurdere stabiliteten til et datasett.
Hvis du vil, kan jeg hjelpe deg med å lage en versjon av denne artikkelen i et skoleoppgaveformat (med innledning–diskusjon–konklusjon) eller legge til øvingsspørsmål i tillegg til diskusjonen.
