Eksempelspørsmål og diskusjon: Varians og standardavvik for enkeltdata
Statistikk er en gren av matematikken som omhandler innsamling, analyse, tolkning, presentasjon og organisering av data. To viktige begreper i statistikk er varians og standardavvik. Denne artikkelen vil diskutere i detalj hvordan man beregner varians og standardavvik for et enkelt datasett gjennom flere eksempelproblemer.
Forstå varians og standardavvik
Varians er et mål som kvantifiserer hvor langt tallene i et datasett er spredt fra gjennomsnittet eller gjennomsnittet. Varians uttrykkes i kvadratenheter av de opprinnelige dataene, noe som ofte gjør det vanskelig å tolke.
Standardavviket er kvadratroten av variansen. Det gir et mer intuitivt mål på hvor mye dataene generelt avviker fra gjennomsnittet fordi enhetene er de samme som de opprinnelige enhetene i dataene.
Generell formel
For enkeltdata er formelen for variansen \( \sigma^2 \) og standardavviket \( \sigma \) til populasjonen som følger:
1. Varians (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standardavvik (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
Di mana:
– \(N \) er antallet data i populasjonen.
– \(x_i \) er den i-te dataverdien.
– \( \mu \) er gjennomsnittet eller gjennomsnittet av dataene.
Hvis vi beregner variansen og standardavviket til utvalget, blir formelen ovenfor litt modifisert:
1. Utvalgsvarians (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2)
2. Standardavvik for utvalg (er):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
Di mana:
– \(n \) er antall data i utvalget.
– \( \bar{x} \) er gjennomsnittet eller gjennomsnittet av utvalget.
Eksempel på hva som skjer i fremtiden
Eksempelspørsmål 1:
Gitt følgende data:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Beregn variansen og standardavviket til dataene!
Løsningstrinn:
1. Beregning av gjennomsnittet (gjennomsnittet) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Beregn differansen mellom data og gjennomsnittet, og kvadrer deretter:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Legge sammen alle kvadratiske resultater:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Beregning av varians (σ²) av populasjonsdata:
\[
∫sigma² = ∫frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Merk: Siden disse dataene er oppgitt som populasjonsdata, deler vi med 6.
5. Beregning av standardavvik (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Så er variansen i dataene 3.559 og standardavviket er 1.886.
Eksempelspørsmål 2:
Gitt følgende eksempeldata:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Beregn variansen og standardavviket til utvalget!
Løsningstrinn:
1. Beregning av gjennomsnittet (gjennomsnittet) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Beregn differansen mellom data og gjennomsnittet, og kvadrer deretter:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Legge sammen alle kvadratiske resultater:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Beregning av utvalgsvariansen (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Merk: Siden dette er eksempeldata, deler vi med 5 (n-1).
5. Beregning av standardavvik (er):
\[
s = ∫5.351 = ca. 2.313
\]
Så er variansen til eksempeldataene 5.351 og standardavviket er 2.313.
Konklusjon
Det er viktig å beregne varians og standardavvik for å forstå hvor spredt dataene er innenfor et gitt sett. Mens varians gir et teoretisk mål på spredning i kvadrater av de opprinnelige enhetene, tolker standardavviket målet på spredning i form av de opprinnelige enhetene i dataene, noe som gjør det lettere å forstå. I dataanalyse brukes disse to målene ofte til å vurdere datavariabilitet og ta statistiske beslutninger.
Ved å forstå de nødvendige trinnene og formlene, kan vi enkelt beregne varians og standardavvik for ulike situasjoner vi møter i daglig datainnsamling og -analyse. Forhåpentligvis gir denne artikkelen en dypere forståelse av begrepene varians og standardavvik i enkeltstående datasett.
