Eksempelspørsmål og diskusjon om anvendelsen av integraler i beregning av arealet av et flatt plan
I matematikkundervisningen forekommer man ofte integraler i kalkulus. En av de mest kjente bruksområdene for integraler er å beregne arealet under en kurve eller et plan. Denne artikkelen vil diskutere flere eksempelproblemer og diskutere anvendelsen av integraler for å beregne arealet av et plan.
Introduksjon til teori
Før vi går videre til eksempelproblemet, la oss gjennomgå det grunnleggende konseptet med å beregne arealet under en kurve ved hjelp av integraler. Hvis vi har en funksjon f(x) som er kontinuerlig på intervallet [a, b], så er arealet under kurven y = f(x) fra x = a til x = b:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometrisk sett betyr dette at vi summerer arealet av et veldig tynt rektangel fra x = a til x = b.
Eksempelspørsmål 1
Spørsmål
Beregn arealet under kurven y = x² i intervallet [1, 3].
Diskusjon
For å beregne arealet bruker vi integralet:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Vi starter med å finne den antideriverte av \(x^2 \). Den antideriverte av \(x^2 \) er \( \frac{x^3}{3} \). Da blir integralet:
[L = [x⁴/3]_1^3]
Husk at vi må evaluere antiderivasjonen på integralets grenser:
[L = (3^3}{3) – (1^3}{3)]
[L = (27/3) – (1/3)]
\[L = 9 – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Så arealet under kurven y = x² fra x = 1 til x = 3 er:
\[ \frac{26}{3} \, \text{arealenhet} \]
Eksempelspørsmål 2
Spørsmål
Bestem arealet av området avgrenset av kurven y = x³ og linjene x = 1 og x = 2.
Diskusjon
For å beregne arealet bruker vi integralet:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Som vanlig starter vi med å finne den antideriverte av \(x^3 \). Den antideriverte av \(x^3 \) er \( \frac{x^4}{4} \). Integralet blir:
[L = [x⁴/4]_1^2]
Evaluer grensene til integralet:
[L = (2^4}{4) – (1^4}{4)]
[L = (16/4) – (1/4)]
\[L = 4 – \frac{1}{4} \]
[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Så arealet under kurven y = x³ fra x = 1 til x = 2 er:
\[ \frac{15}{4} \, \text{arealenhet} \]
Eksempelspørsmål 3
Spørsmål
Bestem arealet av området avgrenset av kurvene y = x² + 1 og y = 2x + 2 i intervallet x = 0 til x = 1.
Diskusjon
Først må vi finne skjæringspunktene for å bestemme grensene for integrasjonen. Løsningen på \(x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Bruk av kvadratisk formel:
[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
[x = 1 pm ²]
For de øvre og nedre grensene mellom 0 og 1 trenger vi imidlertid ikke å bruke den kvadratiske løsningen, bare den ordinære integralgrensen fra 0 til 1. Deretter beregner du arealet av den øverste y-kurven minus den nederste y-kurven i henhold til disse grensene:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Funksjonsforenkling:
[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Deretter finner vi antidiven:
Antiderivasjonen av (-x²) er -x³/³),
Antiderivasjonen til \( (2x) \) er \( x^2 \),
Antiderivaten til \((1) \) er \(x \).
Så det,
[L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Neste evaluering:
\[ L = \venstre[\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \høyre] – \venstre[\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \høyre] \]
[L = [-\frac{1}{3} + 1 + 1] – [0]
\[L = -\frac{1}{3} + 2 \]
[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Så arealet av området avgrenset av kurvene y = x² + 1 og y = 2x + 2 på intervallet [0, 1] er:
\[ \frac{5}{3} \, \text{arealenhet} \]
-
Fra eksemplene ovenfor kan vi se hvordan integraler kan brukes til å beregne arealet under en kurve eller mellom to kurver. Med en god forståelse av de grunnleggende konseptene integraler og antideriverte teknikker, blir beregning av disse arealene svært systematisk og effektiv. Forhåpentligvis har denne artikkelen økt vår forståelse av anvendelsen av integraler i den virkelige verden, spesielt innen måling av arealet av plane overflater.
