Puntvermenigvuldigingsmateriaal met behulp van eenheidsvectorcomponenten
We kunnen het scalaire product direct berekenen als we de x-, y- en z-componenten van vectoren A en B kennen (de bekende vectoren).
Om op deze manier een scalair product te berekenen, berekenen we eerst het scalair product van de eenheidsvectoren. Vervolgens drukken we de vectoren A en B uit in hun componenten, ontbinden we het product en gebruiken we het product van de eenheidsvectoren.
De eenheidsvectoren i , j en k staan loodrecht op elkaar, wat de berekeningen vereenvoudigt. Met behulp van de hierboven afgeleide scalaire vermenigvuldigingsvergelijking ( AB = AB cos θ ) verkrijgen we:
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nu drukken we de vectoren A en B uit in termen van hun componenten, ontbinden we hun product en gebruiken we het product van eenheidsvectoren.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Omdat i . i = j . j = k . k = 1 en i . j = i . k = j . k = 0, dan:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Op basis van de resultaten van deze berekening kan worden geconcludeerd dat het scalaire product of dotproduct van twee vectoren de som is van de producten van hun gelijksoortige componenten.
Voorbeeldvraag 1:
Grote vector A Dan B De waarden zijn respectievelijk 5 en 4, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. De gevormde hoek is 90 graden.oTel het maar. puntproduct beide vectoren.
Discussie
Voordat we het inwendig product van vectoren A en B berekenen, moeten we eerst de componenten van de tweede vector kennen.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) zonde 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
Door y = (4) zonde 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Vector A heeft alleen vectorcomponenten op de x-as en vector B heeft alleen vectorcomponenten op de y-as. De z-component is nul omdat vectoren A en B in het xy-vlak liggen.
Nu berekenen we het inwendig product tussen vectoren A en B met behulp van de formule voor het inwendig product met componentvectoren:
EEN . B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Laten we het vergelijken met de eerste methode.
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Het resultaat is hetzelfde.
Voorbeeldvraag 2:
Grote vector A Dan B zijn respectievelijk 5 en 4, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. Bereken puntproduct beide vectoren, als de gevormde hoek 30 iso
Discussie
Voordat we het inwendig product van vectoren A en B berekenen, moeten we eerst de componenten van de tweede vector kennen.
De z-component is nul omdat de vectoren A en B in het xy-vlak liggen.
Nu berekenen we het inwendig product tussen vectoren A en B met behulp van de formule voor het inwendig product met componentvectoren:
Vergelijk met de eerste methode.
